Limite d’une suite réelle

Plan du chapitre "Suites numériques"

Limite finie ou infinie

Définition
Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels.

  • On dit que la suite {u} tend vers {+\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\ge A}.
  • On dit que la suite {u} tend vers {-\infty} si : {\forall\, A\in\mathbb{R},\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow u_n\le A}.
  • Soit {\ell} un nombre réel.
    On dit que la suite {u} tend vers {\ell} si : {\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\, N\in\mathbb{N},\;n\ge N\Rightarrow |u_n-\ell|\le\varepsilon}.

On a ainsi donné un sens à la phrase “la suite {u} tend vers {\ell}“, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
On pourrait dire que la suite {u} tend vers {\ell} “quand {n\to+\infty}“, mais ce n’est pas vraiment utile, s’il n’y a pas d’ambiguïté possible sur le rôle de {n} dans cette définition.

On pourra comparer les définitions précédentes avec celles données en classe Terminale S :

  • La suite {u} tend vers {\ell} réel si tout intervalle ouvert contenant {\ell} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
  • La suite {u} tend vers {+\infty} si tout intervalle ouvert de la forme {]A,+\infty[} contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang

Définition
Soit {\ell} un élément de {\overline{\,\mathbb{R}}=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}}. Si la suite {u} tend vers {\ell} on note simplement {u_{n}\to\ell}.
Proposition (unicité de la limite si existence)
Soit {u=(u_n)_{n\ge0}} une suite de nombres réels, tendant vers {\ell}, avec {\ell} dans {\overline{\mathbb{R}}}.
Alors {\ell} est le seul élément de {\overline{\mathbb{R}}} à posséder cette propriété.
On l’appelle la limite de la suite {u}, et on note {\ell = \lim u_{n}}.
Remarque :
on peut noter {\displaystyle\lim_{n\to\infty} u_{n}}, ou {\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_{n}}, notamment en présence d’autres variables.
Par exemple, pour lever toute ambiguïté, on écrira : {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{2}{3}\;\text{et}\;\displaystyle\lim_{m\to\infty}\dfrac{2n+5m}{3n+7m}=\dfrac{5}{7}}
Démonstration
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Suites convergentes ou divergentes

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