Limites des suites monotones

Plan du chapitre "Suites numériques"

Théorème de la suite monotone

Proposition (limite d'une suite réelle croissante)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite croissante de nombres réels.
Si cette suite est majorée, alors elle est convergente.
Plus précisément, {\lim u_n=\sup\{u_n,n\ge0\}}.
Si au contraire cette suite n’est pas majorée, alors {\lim\,u_n=+\infty}.
On retiendra le “théorème de la suite monotone” : toute suite réelle monotone possède une limite.

En considérant la suite de terme général {(-u_n)_{n\ge0}}, on en déduit le résultat suivant:

Proposition (limite d'une suite réelle décroissante)
Soit {(u_n)_{n\ge0}} une suite décroissante de nombres réels.
Si cette suite est minorée, alors elle est convergente.
Plus précisément, {\lim u_n=\inf\{u_n,n\ge0\}}.
Si au contraire cette suite n’est pas minorée, alors {\lim u_n=-\infty}.

Le résultat suivant constitue une sorte de réciproque des deux propositions précédentes:

Proposition
Soit {X} une partie non vide majorée de {\mathbb{R}}.
Alors il existe une suite {u} d’éléments de {X} telle que {\lim u_{n}=\sup X}.
On peut même faire en sorte que la suite {u} soit croissante.
De même, si {X} est non vide minorée, il existe une suite décroissante {u} de {X} telle que {\lim u_{n}=\inf X}.
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