Suites récurrentes

Plan du chapitre "Suites numériques"

Suites définies par une relation {u_{n+1}=f(u_{n})}

Définition (suite définie par récurrence)
Soit {f} une fonction définie sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{K}}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
Soit {a} un élément de {\mathcal{D}}. On peut définir une suite {(u_n)_{n\ge0}} de {\mathbb{K}} par :
— la donnée de son terme initial {u_0=a} dans {\mathcal{D}}
— la relation de récurrence : {\forall\, n\in\mathbb{N},u_{n+1}=f(u_n)}.
On dit alors que la suite {u} est définie par récurrence.

Remarque sur le domaine de définition

Avec les notations précédentes, il faut s’assurer de l’existence de la suite {u}.
On doit donc vérifier que les {u_n} sont dans {\mathcal{D}} pour tout {n} de {\mathbb{N}}.
C’est évidemment très simple si on sait que {f(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}}.

Prenons l’exemple de la suite réelle {(u_n)_{n\ge0}} par : {u_0} dans {\mathbb{R}} et : {\forall\, n\in\mathbb{N}, u_{n+1}=\sqrt{1-u_n}}.
Pour que cette suite ait un sens, il faut en particulier que {u_1} existe, c’est-à-dire {u_0\le 1}.
Mais pour que {u_2} existe il faut {u_1=\sqrt{1-u_0}\le1}, c’est-à-dire {u_0\ge0}.
Enfin, la condition {0\le u_0\le1} est suffisante car {[0,1]} est stable par {f\colon x\mapsto \sqrt{1-x}}.

Proposition (limites éventuelles d'une suite définie par un+1=f(un))
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{K}} une fonction continue. On suppose que {f(\mathcal{D})\subset\mathcal{D}}.
Soit {(u_n)_{n\ge0}} la suite définie par {u_{0}\in\mathcal{D}} et par la relation {u_{n+1}=f(u_n)}.
Si la suite {u} converge vers un élément {\ell} de {\mathcal{D}}, alors la limite vérifie {f(\ell)=\ell}.
Résoudre l’équation {f(x)=x} donne donc les limites éventuelles de la suite {u} dans l’ensemble {\mathcal{D}}.

Limites éventuelles et intervalles stables

Pour une suite définie par une récurrence {u_{n+1} = f (u_n)}, et si {f} est continue, on trouvera les limites éventuelles en cherchant les “points fixes” de {f}, c’est-à-dire en résolvant l’équation {f (x) = x}.

Il est recommandé d’étudier le signe de {f (x)-x}, et d’identifier des intervalles stables par {f} (souvent un intervalle séparant deux points fixes successifs de {f}).

Voici par exemple une situation typique :

  • Supposons que {\alpha} et {\beta} soient les seules solutions de {f(x)=x}.
  • Supposons en outre que {\alpha\lt x\lt \beta\Rightarrow\alpha\lt f(x)\lt x\lt \beta}.
  • Si {\alpha \lt u_0\lt \beta}, alors par une récurrence évidente : {\forall\, n\in\mathbb{N},\alpha\lt u_{n+1}\lt u_n\lt \beta}
  • On conclut que la suite {u}, décroissante minorée, converge vers {\alpha} (seule possibilité ici).

Utilisation de représentations graphiques

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