Polynômes, fractions rationnelles
QCM (polynômes)
Un questionnaire à choix unique (à chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Polynômes ».
Théorème de Rouché pour les polynômes
(Oral Centrale) On montre que si {P} et {Q} sont deux polynômes tels que {|z|=r \Rightarrow |P(z)−Q(z)|\lt|Q(z)|}, alors ils ont le même nombre de racines dans {D(0,r)}.
Relations entre sommes harmoniques
(Oral Centrale). On établit des relations entre des {\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\dfrac{P(k)}{k}} , où {P} est un polynôme.
Irréductibilité des polynômes de Tchebychev
(Oral Centrale). Dans cet exercice, on étudie les propriétés d’irréductibilité dans {\mathbb{Z}[X]} des polynômes de Tchebychev.
Zéros d’un polynôme de Maclaurin
(Orale Centrale). On étudie les premières racines réelles strictement positives du polynôme de Maclaurin de la fonction sinus.
Racines de dérivées n-ièmes
(Oral Centrale) On étudie les racines des dérivées {n}-ièmes des fonctions définies par {f(x)=exp(1/(1-x^2))} et {g(x)=exp(1/(1+x^2))}.
Racines d’une suite de polynômes
(Oral Centrale) On étudie les propriétés des racines de {P_{n}(X)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\dfrac{(nX)^{k}}{k!}}
Unitaires de ℤ[X] à racines dans D(0,1)
(Oral Centrale) On étudie l’ensemble des polynômes unitaires de {\mathbb{Z}[X]}, à racines dans le disque unité. Parmi eux, les polynômes cyclotomiques.
Polynômes affinement équivalents
(Oral Centrale). Deux polynômes sont dits affinement équivalents si on passe de l’un à l’autre par un isomorphisme affine. On étudie cette relation sur ℝ[X].
Composition de polynômes
(Oral Centrale). Une condition nécessaire et suffisante pour qu’un polynôme A puisse s’écrire comme le composé B(C(X)) de deux polynômes.
Polynômes P tels que P(cos x)=cos P(x)
(Oral Mines-Ponts)
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Résoudre l’équation d’inconnue {P\in\mathbb{R}[X]} définie par {(E):\ \forall\,x\in\mathbb{R},\;P(\cos x)=\cos (P(x))}
Majoration des racines d’un polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Soit {P=X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{0}\in \mathbb{C}[X]}.
On pose {A=|a_{n-1}|+\cdots +|a_{0}|}.
Soit {z} une racine de {P}.
Montrer que {|z|\leq \max \{1,\ A\}}.
Une décomposition en éléments simples
(Oral Mines-Ponts)
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Montrer qu’il existe un unique polynôme {P_n} tel que : {P_{n}\Big(X+\dfrac{1}{X}\Big)=X^{n}+\dfrac{1}{X^{n}}}Décomposer {1/P_{n}} en éléments simples.
Polynômes scindés simples (ou pas)
(Oral Centrale)
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Soit {P\in\mathbb{K}[X]\setminus\mathbb{K}}. Existe-t-il toujours {\lambda\in\mathbb{K}} tels que {P(X)-\lambda} soit scindé simple dans {\mathbb{K}[X]} ? (distinguer {\mathbb{K}=\mathbb{R}} puis {\mathbb{K}=\mathbb{C}}).
Polynômes à valeurs positives
(Oral Centrale 2018)
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Soit {P\in\mathbb{C}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}}. Montrer que {P\in\mathbb{R}[X]}.
Soit {P\in\mathbb{R}[X]} tel que {P(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. On pose {Q=\displaystyle\sum\limits_{k\ge0}P^{(k)}}.
Montrer que {Q(\mathbb{R})\subset\mathbb{R}^+}. Réciproque?
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Suites de polynômes d’Appell
(Oral Mines-Ponts 2018)
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Étude des polynômes définis par : {B_{0}=1\text{\ et\ }\forall\,n\in\mathbb{N}^*,\;B_{n}'=nB_{n-1}}
Inégalité PP » ≤ (P’)² si P est réel scindé
Polynômes stabilisant {z∊ℂ, |z|=1}
(Oral Mines-Ponts 2018)
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
On note {\mathbb{U}=\{z\in\mathbb{C},\;|z|=1\}}.
Soit {P\in\mathbb{C}[X]}. Montrer que {P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}\Leftrightarrow P=aX^{n}} avec {|a|=1}
Polynômes stables
(Oral Centrale Mp)
Polynômes stables
Polynômes stables
Dans une quartique, le nombre d’or
(Oral Centrale Mp)
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Le nombre d’or caché dans la sécante joignant deux inflexions d’une quartique.
Une factorisation de polynôme
(Oral Mines-Ponts)
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
Soit {n\in \mathbb{N}^{\ast }}. On considère le polynôme : {\begin{array}{rl}P_n&=1+2X+3X^{2}+\cdots+(n-1)X^{n-2}+nX^{n-1}\\\\&+(n-1)X^{n}+...+2X^{2n-3}+X^{2n-2}\end{array}}Trouver les racines de {P_n} et le factoriser dans {\mathbb{C}[X]}.
Décompositions en éléments simples (2/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (2/2)
Décompositions en éléments simples (1/3)
Exercices sur le thème « Décompositions en éléments simples » (1/2)
Relations coefficients-racines (3/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (3/3)
Relations coefficients-racines (2/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (2/3)
Relations coefficients-racines (1/3)
Exercices sur le thème « Polynômes: relations coefficients-racines » (1/3)
Arithmétique des polynômes (2/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (2/2).
Arithmétique des polynômes (1/2)
Exercices sur le thème « Arithmétique des polynômes » (1/2).