Points et vecteurs, translations

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Dans tout ce chapitre, {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.
Les éléments de {E}, selon le rôle qu’on leur fait jouer, sont appelés points ou vecteurs

Conventions de notation

Pour limiter les ambigüités, on utilisera quelques conventions typographiques :

  • Les points seront notés {A,B,\ldots,M,N,\ldots}.
    Le vecteur nul {0}, considéré comme un point de {E}, pourra être noté {O}.
  • Les vecteurs seront notés {a,b,u,v,\ldots}, parfois {\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\ldots,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\ldots}.
    On choisira la notation {\overrightarrow{u}} par exemple, plutôt que {u}, pour insister sur le rôle « vectoriel » de cet élément. La distinction entre les deux notations est une simple affaire de commodité.
  • Les sous-espaces vectoriels de {E} seront notés {F,G,H,\ldots}.
    On définira plus loin les sous-espaces affines de {E}, et on les notera {\mathcal{F},\mathcal{G},\mathcal{H},\ldots}
Définition (translations)
Soit {u} un vecteur de {E}.
L’application {t_u:E\to E} définie par {t_u(M)=M+u} est appelée translation de vecteur {u}.

On a bien sûr {t_u(M)=M+u=t_M(u)}, mais l’idée est de considérer {u} comme un vecteur et {M} comme un point (auquel on ajoute {u}), même si {M} et {u} sont l’un comme l’autre des éléments de {E}.

Pour tous vecteurs {u,v} et tout point {A}, on a : {(A+u)+v=A+(u+v)=(A+v)+u}.
Autrement dit on a les égalités : {t_v\circ t_u=t_{u+v}=t_u\circ t_v }.

On a bien sûr {t_{0}=\text{Id}_E}. Toute translation {t_u} est bijective, avec {(t_u)^{-1}=t_{-u}}.

Seule la translation {t_{0}=\text{Id}_E} est linéaire. En effet, si {u\ne0}, alors {t_u(0)=u\ne 0}.

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