Barycentres et repères affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Barycentres

{E} désigne un espace vectoriel sur {\mathbb{R}}.

Définition (points pondérés)
On appelle point pondéré le couple {(A,\lambda)} formé d’un point {A} de {E} et d’un réel {\lambda}.
On dit que le réel {\lambda} est le poids du point pondéré {(A,\lambda)}.
Soit {(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)} une famille de {p} points pondérés.
La quantité {m=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}\lambda_k} est appelée poids total de ce système de points.
Définition (barycentre d'une famille de points pondérés)
Soit {(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)} une famille de {p} points pondérés.
On suppose que le poids total {m} de cette famille est non nul.
Il existe alors un unique point {G} de {E} tel que : {\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k \overrightarrow{GA_k}=0}.
Il est défini par : {G=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}.
On dit que {G} est le barycentre des points pondérées {(A_k,\lambda_k)}.

On ne modifie pas le barycentre {G} en multipliant les poids {\lambda_k} par un même coefficient non nul {\mu}.
En particulier, en choisissant {\mu=\dfrac1m}, on peut toujours se ramener à {\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k=1}.
Dans ce cas le barycentre {G} est défini par {G=\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}.

Isobarycentre

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