Barycentres et repères affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Barycentres

${E}$ désigne un espace vectoriel sur ${\mathbb{R}}$ .

Définition (points pondérés)
On appelle point pondéré le couple

{(A,\lambda)}

formé d’un point

{A}

{E}

et d’un réel

{\lambda}

.
On dit que le réel

{\lambda}

est le poids du point pondéré

{(A,\lambda)}

.
Soit

{(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)}

une famille de

{p}

points pondérés.
La quantité

{m=\displaystyle\sum_{k=1}^{p}\lambda_k}

est appelée poids total de ce système de points.

Définition (barycentre d'une famille de points pondérés)
Soit

{(A_1,\lambda_1),(A_2,\lambda_2),\ldots,(A_p,\lambda_p)}

une famille de

{p}

points pondérés.
On suppose que le poids total

{m}

de cette famille est non nul.
Il existe alors un unique point

{G}

{E}

tel que :

{\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k \overrightarrow{GA_k}=0}

.
Il est défini par :

{G=\dfrac{1}{m}\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}

.
On dit que

{G}

est le barycentre des points pondérées

{(A_k,\lambda_k)}

On ne modifie pas le barycentre ${G}$ en multipliant les poids ${\lambda_k}$ par un même coefficient non nul ${\mu}$ .
En particulier, en choisissant ${\mu=\dfrac1m}$ , on peut toujours se ramener à ${\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k=1}$ .
Dans ce cas le barycentre ${G}$ est défini par ${G=\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_k A_k}$ .

Isobarycentre

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