Sous-espaces affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Translaté d’un sous-espace vectoriel

Définition (translaté d'un sous-espace vectoriel)
Soit {A} un point de {E}, et {F} un sous-espace vectoriel de {E}. On note {A+F=\{A+u,u\in F\}}.
Autrement dit, {A+F} est l’image de {F} par la translation {u\mapsto A+u}.
Proposition (égalité de deux translatés de sous-espaces vectoriels)
Soit {A,B} deux points de {E}, et soit {F,G} deux sous-espaces vectoriels de {E}.
On a l’équivalence {A+F=B+G\Leftrightarrow (F=G\;\text{et}\; \overrightarrow{AB}\in F)}
Définition (sous-espace affine d'un espace vectoriel)
Soit {\mathcal{F}} une partie de l’espace vectoriel {E}. On dit que {\mathcal{F}} est un sous-espace affine de {E} s’il existe un point {A} et un sous-espace vectoriel {F} tel que {\mathcal{F}=A+F}.
On voit que {A} est dans {\mathcal{F}} (prendre {0} dans {F}). On sait également (proposition précédente) que {F} est défini de façon unique par l’égalité {\mathcal{F}=A+F}.
On dit alors que {\mathcal{F}=A+F} est le sous-espace affine de {E} « passant par {A} et de direction {F} ».

Remarques et propriétés

  • Un sous-espace affine est toujours non vide.
    Les singletons de {E} sont les sous-espaces affines de direction {\{0\}}.
    L’ensemble {E} est un sous-espace affine de lui-même, de direction {E}.
  • Les sous-espaces affines de {E} sont les translatés des sous-espaces vectoriels de {E}.
    Les sous-espaces vectoriels {F} de {E} sont les sous-espaces affines qui passent par l’origine.
    Si {F} est un sous-espace vectoriel de {E}, il est sa propre direction.
  • Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, de direction {F}. Pour tout point {B\in\mathcal{F}}, on a {\mathcal{F}=B+F}.
    Un sous-espace affine est donc défini par sa direction et par l’un quelconque de ses points.
  • Deux sous-espaces affines sont égaux {\Leftrightarrow} (ils ont la même direction et un point en commun).

Dimension d’un sous-espace affine

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