Sous-espaces affines

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Définition (translaté d'un sous-espace vectoriel)
Soit

{A}

un point de

{E}

, et

{F}

un sous-espace vectoriel de

{E}

. On note

{A+F=\{A+u,u\in F\}}

.
Autrement dit,

{A+F}

est l’image de

{F}

par la translation

{u\mapsto A+u}

Proposition (égalité de deux translatés de sous-espaces vectoriels)
Soit

{A,B}

deux points de

{E}

, et soit

{F,G}

deux sous-espaces vectoriels de

{E}

.
On a l’équivalence

{A+F=B+G\Leftrightarrow (F=G\;\text{et}\; \overrightarrow{AB}\in F)}

Définition (sous-espace affine d'un espace vectoriel)
Soit

{\mathcal{F}}

une partie de l’espace vectoriel

{E}

. On dit que

{\mathcal{F}}

est un sous-espace affine de

{E}

s’il existe un point

{A}

et un sous-espace vectoriel

{F}

tel que

{\mathcal{F}=A+F}

.
On voit que

{A}

est dans

{\mathcal{F}}

(prendre

{0}

dans

{F}

). On sait également (proposition précédente) que

{F}

est défini de façon unique par l’égalité

{\mathcal{F}=A+F}

.
On dit alors que

{\mathcal{F}=A+F}

est le sous-espace affine de

{E}

« passant par

{A}

et de direction

{F}

».

Un sous-espace affine est toujours non vide.
Les singletons de ${E}$ sont les sous-espaces affines de direction ${\{0\}}$ .
L’ensemble ${E}$ est un sous-espace affine de lui-même, de direction ${E}$ .
Les sous-espaces affines de ${E}$ sont les translatés des sous-espaces vectoriels de ${E}$ .
Les sous-espaces vectoriels ${F}$ de ${E}$ sont les sous-espaces affines qui passent par l’origine.
Si ${F}$ est un sous-espace vectoriel de ${E}$ , il est sa propre direction.
Soit ${\mathcal{F}}$ un sous-espace affine de ${E}$ , de direction ${F}$ . Pour tout point ${B\in\mathcal{F}}$ , on a ${\mathcal{F}=B+F}$ .
Un sous-espace affine est donc défini par sa direction et par l’un quelconque de ses points.
Deux sous-espaces affines sont égaux ${\Leftrightarrow}$ (ils ont la même direction et un point en commun).

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