Paramétrage d’un sous-espace affine

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Soit {\Omega} un point de {E}, et {F} un sous-espace vectoriel de {E}, de base {u_1,u_2,\ldots,u_p}.
Soit {\mathcal{F}} le sous-espace affine de {E}, passant par {\Omega} et de direction {F}.
On dit que {\mathcal{R}=\{\Omega,(u_1,u_2,\ldots,u_p)\}} est un repère cartésien de {\mathcal{F}}.
Un point {M} est dans {\mathcal{F}} si seulement si: {\;(\star)\ \exists\,(\lambda_1,\ldots\lambda_p)\in\mathbb{R}^p,\;M=\Omega+\displaystyle\sum_{k=1}^p\lambda_ku_k}Le repère cartésien {\mathcal{R}} nous a donc permis d’obtenir une « représentation paramétrique » de {F}.
Réciproquement, {(\star)} définit le sous-espace affine passant par {\Omega} et de direction {F=\text{Vect}(u_1,\ldots,u_p)}.
On dit souvent, par abus de langage, que le sous-espace affine {\mathcal{F}} est dirigé par les vecteurs {u_1,\ldots,u_p}.

Cas particulier des droites affines

Une partie {\mathcal{D}} de {E} est une droite affine si et seulement si il existe un point {\Omega} de {E} et un vecteur non nul {u} de {E} tels que: {M\in\mathcal{D}\Leftrightarrow\bigl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;M=\Omega+\lambda u\bigr)}.

On peut alors noter {\mathcal{D}=\mathcal{D}(\Omega,u)} et on dit que {u} est un vecteur directeur de {\mathcal{D}}.

Si {M=\Omega+\lambda u}, on dit aussi que {\lambda} est l’abscisse de {M} sur l’axe {\mathcal{D}(\Omega,u)}.

Si {M=\Omega+\lambda u} et {N=\Omega+\mu u}, alors la quantité {\overline{MN}=\mu-\lambda} est appelée mesure algébrique du vecteur {\overrightarrow{MN}} sur l’axe {\mathcal{D}(\Omega,u)} (cette mesure ne dépend pas du choix du point {\Omega} de {\mathcal{D}}).

Cas particulier des plans affines

Une partie {\mathcal{P}} de {E} est un plan affine si et seulement si il existe un point {\Omega} de {E} et deux vecteurs indépendants {u,v} de {E} tels que: {M\in\mathcal{P}\Leftrightarrow\bigl(\exists\,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^2,\;M=\Omega+\lambda u+\mu v\bigr)}.
On peut alors noter {\mathcal{P}=\mathcal{P}(\Omega,u,v)}.

Exemple

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