Systèmes d’équations d’un sous-espace affine

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Pour simplifier, on se place ici dans {\mathbb{R}^n}, muni de son repère canonique.

Intersection de {p} hyperplans affines de {\mathbb{R}^{n}}

Proposition (intersection de p hyperplans affines)
Soit {(H_i)_{1\le i\le p}} une famille de {p} hyperplans affines de {\mathbb{R}^n}, avec {1\le p\le n}. Soit {\mathcal{F}=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{p}H_i}.
Si {\mathcal{F}\ne\emptyset}, alors {\mathcal{F}} est un sous-espace affine de {\mathbb{R}^n}, de dimension supérieure ou égal à {n-p}.

Considérons par exemple trois plans affines {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} de {\mathbb{R}^3}.

La proposition précédente nous dit que si {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3} n’est pas vide, alors cette intersection est un sous-espace affine de dimension supérieure ou égale à {n-p=3-3=0}, ce qui est un renseignement assez vague, mais on s’aperçoit rapidement que tous les cas sont possibles :

  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être vide.
    C’est le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} sont parallèles distincts ({\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\emptyset} donc {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3=\emptyset}).
    C’est aussi le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite {\mathcal{D}}), mais si la droite {\mathcal{D}} est faiblement parallèle à {\mathcal{P}_3} sans être incluse dans {\mathcal{P}_3}.
  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être réduite à un point {\Omega}.
    C’est le cas si {\mathcal{P}_1} et {\mathcal{P}_2} ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite {\mathcal{D}}) et si {\mathcal{D}} n’est pas faiblement parallèle à {\mathcal{P}_3} (donc si elle coupe {\mathcal{P}_3} en un point {\Omega}).
  • L’intersection {\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3} est une droite {\mathcal{D}} si {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} appartiennent au « faisceau » dirigé par la droite {\mathcal{D}} (sans être tous les trois confondus).
  • L’intersection de {\mathcal{P}_1}, {\mathcal{P}_2} et {\mathcal{P}_3} peut être un plan (si {\mathcal{P}_1=\mathcal{P}_2=\mathcal{P}_3}, bien sûr).

Un exemple

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