Systèmes d'équations d'un sous-espace affine

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Pour simplifier, on se place ici dans ${\mathbb{R}^n}$ , muni de son repère canonique.

Intersection de ${p}$ hyperplans affines de ${\mathbb{R}^{n}}$

Proposition (intersection de p hyperplans affines)
Soit

{(H_i)_{1\le i\le p}}

une famille de

{p}

hyperplans affines de

{\mathbb{R}^n}

, avec

{1\le p\le n}

. Soit

{\mathcal{F}=\displaystyle\bigcap_{i=1}^{p}H_i}

.
Si

{\mathcal{F}\ne\emptyset}

, alors

{\mathcal{F}}

est un sous-espace affine de

{\mathbb{R}^n}

, de dimension supérieure ou égal à

{n-p}

Considérons par exemple trois plans affines ${\mathcal{P}_1}$ , ${\mathcal{P}_2}$ et ${\mathcal{P}_3}$ de ${\mathbb{R}^3}$ .

La proposition précédente nous dit que si ${\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3}$ n’est pas vide, alors cette intersection est un sous-espace affine de dimension supérieure ou égale à ${n-p=3-3=0}$ , ce qui est un renseignement assez vague, mais on s’aperçoit rapidement que tous les cas sont possibles :

L’intersection de ${\mathcal{P}_1}$ , ${\mathcal{P}_2}$ et ${\mathcal{P}_3}$ peut être vide.
C’est le cas si ${\mathcal{P}_1}$ et ${\mathcal{P}_2}$ sont parallèles distincts ( ${\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2=\emptyset}$ donc ${\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3=\emptyset}$ ).
C’est aussi le cas si ${\mathcal{P}_1}$ et ${\mathcal{P}_2}$ ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite ${\mathcal{D}}$ ), mais si la droite ${\mathcal{D}}$ est faiblement parallèle à ${\mathcal{P}_3}$ sans être incluse dans ${\mathcal{P}_3}$ .
L’intersection de ${\mathcal{P}_1}$ , ${\mathcal{P}_2}$ et ${\mathcal{P}_3}$ peut être réduite à un point ${\Omega}$ .
C’est le cas si ${\mathcal{P}_1}$ et ${\mathcal{P}_2}$ ne sont pas parallèles (leur intersection est alors une droite ${\mathcal{D}}$ ) et si ${\mathcal{D}}$ n’est pas faiblement parallèle à ${\mathcal{P}_3}$ (donc si elle coupe ${\mathcal{P}_3}$ en un point ${\Omega}$ ).
L’intersection ${\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\cap\mathcal{P}_3}$ est une droite ${\mathcal{D}}$ si ${\mathcal{P}_1}$ , ${\mathcal{P}_2}$ et ${\mathcal{P}_3}$ appartiennent au « faisceau » dirigé par la droite ${\mathcal{D}}$ (sans être tous les trois confondus).
L’intersection de ${\mathcal{P}_1}$ , ${\mathcal{P}_2}$ et ${\mathcal{P}_3}$ peut être un plan (si ${\mathcal{P}_1=\mathcal{P}_2=\mathcal{P}_3}$ , bien sûr).

Un exemple

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Intersection de {p} hyperplans affines de {\mathbb{R}^{n}}

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Intersection de ${p}$ hyperplans affines de ${\mathbb{R}^{n}}$