Parallélisme et intersection

Plan du chapitre "Sous-espaces affines"

Parallélisme de sous-espaces affines

Définition (sous espaces affines parallèles)
Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
On dit que {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}} si on a l’inclusion {F\subset G}.
On dit que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}} (ou encore que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles) si on a l’égalité {F=G}.

Remarques et exemples

  • Si {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} ont même dimension, les deux notions précédentes sont équivalentes.

  • Un singleton est faiblement parallèle à n’importe quel sous-espace affine.
    Une droite peut être faiblement parallèle à un plan, mais l’inverse est impossible.
    Si deux sous-espaces affines de dimension finie sont parallèles, ils ont même dimension.

  • Deux droites affines sont parallèles si et seulement si elles ont un vecteur directeur commun.

  • On pourra noter {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} pour exprimer que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles.
    On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des sous-espaces affines de {E}.

  • {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles {\Leftrightarrow} il existe {u} dans {E} tel que {t_u(\mathcal{F})=\mathcal{G}}.
    Plus précisément, si {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} on a {\mathcal{G}=t_u(\mathcal{F})} pour tout vecteur {u=\overrightarrow{AB}} tel que {A\in\mathcal{F}} et {B\in\mathcal{G}}.

  • Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, et {A} un point de {E}.
    Par le point {A}, il passe un unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}}.

  • Un sous-espace affine {\mathcal{F}} est parallèle à sa propre direction {F}.
    Celle-ci est d’ailleurs l’unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}} et passant par {O}.

  • Soit {\mathcal{F},\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}. On suppose que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}}.
    Alors il existe un unique sous-espace affine {\mathcal{F}'} contenant {\mathcal{F}} et tel que {\mathcal{F}'} et {\mathcal{G}} soient parallèles.

Sur cette figure, on voit une droite {\mathcal{F}} faiblement parallèle au plan {\mathcal{G}}.
Il existe un plan unique {\mathcal{F}'}contenant {\mathcal{F}} et parallèle à {\mathcal{G}}.
En revanche, {\mathcal{G}} contient une infinité de droites parallèles à {\mathcal{F}}.

Intersection de sous-espaces affines

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