- Points et vecteurs, translations
- Sous-espaces affines
- Paramétrage d'un sous-espace affine
- Parallélisme et intersection
- Équation cartésienne d'un hyperplan
- Systèmes d'équations d'un sous-espace affine
- Barycentres et repères affines
Parallélisme de sous-espaces affines
Définition (sous espaces affines parallèles)
Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
On dit que {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}} si on a l’inclusion {F\subset G}.
On dit que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}} (ou encore que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles) si on a l’égalité {F=G}.
Soit {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}, de directions respectives {F} et {G}.
On dit que {\mathcal{F}} est faiblement parallèle à {\mathcal{G}} si on a l’inclusion {F\subset G}.
On dit que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}} (ou encore que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles) si on a l’égalité {F=G}.
Remarques et exemples
- Si {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} ont même dimension, les deux notions précédentes sont équivalentes.
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Un singleton est faiblement parallèle à n’importe quel sous-espace affine.
Une droite peut être faiblement parallèle à un plan, mais l’inverse est impossible.
Si deux sous-espaces affines de dimension finie sont parallèles, ils ont même dimension. - Deux droites affines sont parallèles si et seulement si elles ont un vecteur directeur commun.
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On pourra noter {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} pour exprimer que {\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles.
On définit ainsi une relation d’équivalence sur l’ensemble des sous-espaces affines de {E}. -
{\mathcal{F}} et {\mathcal{G}} sont parallèles {\Leftrightarrow} il existe {u} dans {E} tel que {t_u(\mathcal{F})=\mathcal{G}}.
Plus précisément, si {\mathcal{F}\parallel\mathcal{G}} on a {\mathcal{G}=t_u(\mathcal{F})} pour tout vecteur {u=\overrightarrow{AB}} tel que {A\in\mathcal{F}} et {B\in\mathcal{G}}. -
Soit {\mathcal{F}} un sous-espace affine de {E}, et {A} un point de {E}.
Par le point {A}, il passe un unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}}. -
Un sous-espace affine {\mathcal{F}} est parallèle à sa propre direction {F}.
Celle-ci est d’ailleurs l’unique sous-espace affine parallèle à {\mathcal{F}} et passant par {O}. -
Soit {\mathcal{F},\mathcal{G}} deux sous-espaces affines de {E}. On suppose que {\mathcal{F}} est parallèle à {\mathcal{G}}.
Alors il existe un unique sous-espace affine {\mathcal{F}'} contenant {\mathcal{F}} et tel que {\mathcal{F}'} et {\mathcal{G}} soient parallèles.
Sur cette figure, on voit une droite {\mathcal{F}} faiblement parallèle au plan {\mathcal{G}}.
Il existe un plan unique {\mathcal{F}'}contenant {\mathcal{F}} et parallèle à {\mathcal{G}}.
En revanche, {\mathcal{G}} contient une infinité de droites parallèles à {\mathcal{F}}.
Intersection de sous-espaces affines
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