QCM (matrices)
Un questionnaire à choix unique (pour chacune des 9 questions, une seule des 4 réponses proposées est correcte) sur le thème « Matrices ».
Matrices et applications linéaires
Racines carrées d’une matrice
(Oral CCInp)
On détermine les racines carrées de {A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}.
On détermine les racines carrées de {A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 1\end{pmatrix}}.
Commutant de A quand A^2=0
(Oral Mines-Ponts)
Soit {A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}non nulle telle que {A^{2}=0}.
Déterminer la dimension de {\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}.
Soit {A\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})}non nulle telle que {A^{2}=0}.
Déterminer la dimension de {\mathcal{C}_{A}=\{M\in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R}),\;AM=MA\}}.
Connaissant AB, calculer BA
(Oral Centrale)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB =\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\1&1&2\end{pmatrix}}.
Calculer {BA}.
Polynômes dérivés successifs
(Oral Mines-Ponts 2018)
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Soit {(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n})\in\mathbb{C}^{n+1}}. À quelle condition a-t-on:
{\forall Q\in\mathbb{C}_{n}[X],\;\exists P\in\mathbb{C}_{n}[X],\;Q=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{n}a_{k}P^{(k)}}
Déterminant et trace de la transposition
(Oral Mines-Ponts 2018)
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Déterminant et trace de {u\in\mathcal{L}(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K}))} défini par {u(M)=M^{T}}.
Formes linéaires coordonnées
Exercices sur le thème « formes linéaires »
Calcul du rang d’une matrice (3/3)
Exercices sur le thème « Calcul du rang d’une matrice » (3/3)
Calcul du rang d’une matrice (2/3)
Exercices sur le thème « Calcul du rang d’une matrice » (2/3)
Calcul du rang d’une matrice (1/3)
Exercices sur le thème « Calcul du rang d’une matrice » (1/3)
Changements de base (2/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (2/2)
Changements de base (1/2)
Exercices sur le thème « matrices semblables et changements de bases » (1/2)
Image, noyau, rang (3/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang » (3/3)
Image, noyau, rang (2/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (2/3)
Image, noyau, rang (1/3)
Exercices sur le thème « Image, noyau, rang d’une application linéaire » (1/3)
Matrices et applications linéaires
Exercices sur le thème « Matrices et applications linéaires »
Matrice de projecteur
(Oral Mines-Ponts)
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.
Soient {A\in{\mathcal M}_{3,2}(\mathbb{R})} et {B\in{\mathcal M}_{2,3}(\mathbb{R})}.
On suppose que {AB=\small\begin{pmatrix}0&-1&x\\-1&0&y\\-1&-1&z\end{pmatrix}}.
Déterminer {(x,y,z)} pour que {AB} soit la matrice d’un projecteur.
Dans ce cas, déterminer {BA}.