Calcul du rang d’une matrice (3/3)

Exercices corrigés


Exercice 1.
Déterminer le rang de {A=\begin{pmatrix}a&0&0&b\cr b&a&0&0\cr 0&b&a&0\cr 0&0&b&a\end{pmatrix}}, où {(a,b)\in\mathbb{C}^2}.
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Exercice 2.
Quand {A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\cr1&1+a&1&1\cr1&1&1+b&1\cr1&1&1&1+c\end{pmatrix}} est inversible, calculer son inverse.
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Exercice 3.
Résoudre le système {(S)\ \begin{cases}ax+iy+z+2it=1\cr ix-ay+2iz-t=i\cr x-2iy-az+it=1\cr 2ix+y-iz-at=-i\end{cases}} (où {a\in\mathbb{C}})
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Exercice 4.
Dans l’espace {\mathbb{R}^5}, on définit les vecteurs {\begin{cases}u_1=(1,-1,2,3,4)\\u_2=(2,1,-1,2,0)\\ u_3=(-1,2,1,1,3)\\u_4=(1,5,-8,-5,-12)\\ u_5=(3,-7,8,9,13)\end{cases}}Déterminer le rang de la famille {u_1,u_2,u_3,u_4,u_5}.
Former un système d’équations du sous-espace de {\mathbb{R}^5} qu’ils engendrent.
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Author: Jean-Michel Ferrard

Professeur de mathématiques en classe préparatoire aux grandes écoles.