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Soit {E} préhilbertien réel, et {f\colon E\rightarrow E} une application.
On suppose : {\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}. Montrer que {f} est linéaire.

Soit u,v deux vecteurs de {E} préhilbertien réel.
On suppose : {\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}. Montrer que {\left({u}\mid{v}\right)=0}.

Soit {a} unitaire dans {E} préhilbertien réel.
Soit \varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R} définie par : {\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}
Pour quels {\lambda\in\mathbb{R}} l’application \varphi_a est-elle un produit scalaire?

Soient x,y dans {E} préhilbertien réel.
Montrer que : {2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}