Espaces préhilbertiens réels

Exercices Mpsi Pcsi
Chapitre “Espaces préhilbertiens réels”

Familles obtusangles

(Oral Centrale)
On se donne

{(e_{1},\ldots,e_{p})}

dans

{\mathbb{R}^{n}}

euclidien, tels que

{(e_{i}\mid e_{j})\lt 0}

pour

{i\neq j}

.
Montrer que

{(e_{1},\ldots,e_{p-1})}

est libre. Conséquence?

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Isométries du plan (2/2)

Cinq exercices sur le thème “Isométries du plan” (2/2)

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Isométries du plan (1/2)

Cinq exercices sur le thème “Isométries du plan” (1/2)

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Matrices orthogonales

Quatre exercices sur le thème “matrices orthogonales”

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Orthogonalité (2/2)

Trois exercices sur le thème “orthogonalité” (2/2)

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Orthogonalité (1/2)

Trois exercices sur le thème “orthogonalité” (1/2)

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Produit scalaire, norme, distance

Quatre exercices sur le thème “Produit scalaire, norme, distance”

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Forme linéaire et produit scalaire

On munit

{E=\mathbb{R}[X]}

du produit scalaire

{\left({P}\mid{Q}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}P(t)Q(t)\,\text{d}t}

.
Existe-t-il

{A\in E}

tel que :

{\forall\, P\in E,\;P(0)=\,\left({A}\mid{P}\right)}

?
Même question avec

E=\mathbb{R}_n[X]

. Que dire sur

A

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Une base orthonormale

Dans

{E}

préhilbertien réel, soit

{(e_k)_{1\le k\le n}}

unitaires tels que :

{\forall\, x\in E,\;\left\|{x}\right\|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left({e_k}\mid{x}\right)^2}

Montrer que

{(e_k)_{1\le k\le n}}

est une base orthonormée de

{E}

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Conservation de l’orthogonalité

Soit

{E}

un espace vectoriel euclidien, et soit

{f\in{\mathcal L}(E)}

.
On suppose que :

{\forall\, (u,v)\in E^{2},\;\left({u}\mid{v}\right)\,=0\Rightarrow\ \left({f(u)}\mid{f(v)}\right)\,=0}

Montrer :

{\exists\,\lambda\ge0,\;\forall\, u\in E,\;\left\|{f(u)}\right\|=\lambda\left\|{u}\right\|}

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Procédé de Gram-Schmidt

On munit

{\mathbb{R}_4[X]}

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

.
Appliquer le procédé de Gram-Schmidt à la base canonique

{1,X,X^{2},X^{3},X^{4}}

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Une base orthonormale de ℝ[X]

Dans

{\mathbb{R}[X]}

, on pose

{\left({A}\mid{B}\right)=\displaystyle\int_{0}^{1}A(t)B(t)\,\text{d}t}

{\;U_{n}(X)=(X^{2}-X)^{n}\;}

{\;P_{n}=U_{n}^{(n)}}

.
1. Montrer que

{(P_{n})_{n\ge0}}

est une famille orthogonale. Calculer

\|P_n\|

.
2. Former une base orthonormale de

{\mathbb{R}_{4}[X]}

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Produit scalaire et linéarité

Soit

{E}

préhilbertien réel, et

{f\colon E\rightarrow E}

une application.
On suppose :

{\forall\, (x,y),\;\left({f(x)}\mid{y}\right)=\left({x}\mid{f(y)}\right)}

. Montrer que

{f}

est linéaire.

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Une condition d’orthogonalité

Soit

u,v

deux vecteurs de

{E}

préhilbertien réel.
On suppose :

{\forall\,\lambda\in\mathbb{R},\;\left\|{u+\lambda v}\right\|\geq\left\|{u}\right\|}

.
Montrer que

{\left({u}\mid{v}\right)=0}

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Un produit scalaire?

Soit

{a}

unitaire dans

{E}

préhilbertien réel.
Soit

\varphi_a\colon E^2\to\mathbb{R}

définie par :

{\varphi(x,y)=\left({x}\mid{y}\right)+\lambda\left({x}\mid{a}\right)\left({y}\mid{a}\right)}

Pour quels

{\lambda\in\mathbb{R}}

l’application

\varphi_a

est-elle un produit scalaire?

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Inégalité et norme euclidienne

Soient

x,y

dans

{E}

préhilbertien réel.
Montrer que :

{2+\left\|{x+y}\right\|^2\le2(1+\left\|{x}\right\|^2)(1+\left\|{y}\right\|^2)}

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(f(x)|f(y))=(x|y) implique f linéaire

(Oral X-Cachan Psi 2016)
Soit

{({E,\left({\cdot}\mid{\cdot}\right))}}

un espace euclidien.
Soit

{f:E\rightarrow E}

telle que

{\forall\, (x,y)\in {E^{2}}}

{\left({f(x)}\mid{f(y)}\right)=\left({x}\mid{y}\right)}

.
Montrer que

{f}

est linéaire.

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