Exercice 1.
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| Exercice 2. Soit {A} une matrice orthogonale d’ordre {n}. Prouver {\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\!\le\! n^{3/2}\;} et {\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\!\le\! n} |
| Exercice 3. Montrer qu’il existe dans {{\mathcal M}_2(\mathbb{R})} une base formée de matrices orthogonales. Montrer que ce résultat reste vrai dans {\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}. |
| Exercice 4. Soit {A} une matrice antisymétrique d’ordre {n}, à coefficients réels. Montrer que {A-I_n} est inversible. Montrer que {\Omega=(A+I_n)(A-I_n)^{-1}} est orthogonale. |