Matrices orthogonales

Exercice 1.

Montrer que ${\lt A,B>\,=\text{tr}({A}^{\top} B)}$ est un produit scalaire sur ${\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}$ .
Pour quelles matrices ${M}$ l’application ${A\rightarrow AM}$ est-elle alors orthogonale?

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Exercice 2.
Soit

{A}

une matrice orthogonale d’ordre

{n}

.
Prouver

{\displaystyle\sum_{i,j=1}^n\left|{a_{ij}}\right|\!\le\! n^{3/2}\;}

{\;\Bigl|\displaystyle\sum_{i,j=1}^na_{ij}\Bigr|\!\le\! n}

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Exercice 3.
Montrer qu’il existe dans

{{\mathcal M}_2(\mathbb{R})}

une base formée de matrices orthogonales.
Montrer que ce résultat reste vrai dans

{\mathcal{M}_n(\mathbb{R})}

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Exercice 4.
Soit

{A}

une matrice antisymétrique d’ordre

{n}

, à coefficients réels.
Montrer que

{A-I_n}

est inversible.
Montrer que

{\Omega=(A+I_n)(A-I_n)^{-1}}

est orthogonale.

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