Exercices corrigés
| Exercice 1. Pour tout réel {t}, on pose : {\!\!R(t)\!=\!\!\begin{pmatrix}\cos t\!&\!-\sin t\cr\sin t\!&\!\cos t\end{pmatrix}\,S(t)\!=\!\!\begin{pmatrix}\cos t\!&\!\sin t\cr\sin t\!&\!-\cos t\end{pmatrix}}
|
| Exercice 2. Soit {r} la rotation vectorielle d’angle {\theta\mod{2\pi}} de {\mathbb{R}^2}, avec {\theta\ne 0\mod\pi}. Soit {u} un vecteur non nul de {\mathbb{R}^2}. Écrire la matrice de {r} dans la base {u,r(u)}. |
| Exercice 3. On se place {\mathbb{R}^2} euclidien orienté. Soit {r\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)} de matrice {A=\begin{pmatrix}7&25\cr -2&-7\end{pmatrix}} dans la base {\begin{cases}u_1=(1,1)\cr u_2=(3,4)\end{cases}}. Montrer que {r} est une rotation vectorielle. |
| Exercice 4. On se place dans {\mathbb{R}^2} euclidien orienté. Soit {A=\begin{pmatrix}a&b\cr c&d\end{pmatrix}\in{\mathcal M}_2(\mathbb{R})}. On suppose que {-2\lt \text{tr}(A)\lt 2} et {\det(A)=1}. Montrer que {A} est la matrice d’une rotation dans une base {\varepsilon_1,\varepsilon_2} de {\mathbb{R}^2}. Le résultat subsiste-t-il si {\text{tr}(A)=\pm2}? |
| Exercice 5. Soit {\varepsilon_1,\varepsilon_2} une base quelconque d’un plan vectoriel euclidien orienté. Soit {r} une rotation vectorielle de {E}, de matrice {A} dans la base {\varepsilon_1,\varepsilon_2}. Pour toute rotation {\rho}, montrer que la matrice de {r} dans {\rho(\varepsilon_1),\rho(\varepsilon_2)} est {A}. |