Continuité uniforme

Plan du chapitre "Intégration"

Dans tout le chapitre {I} est un intervalle de {\mathbb{R}} non vide et non réduit à un point.

La lettre {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
On rappelle que {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})} est l’ensemble des fonctions définies sur {I} et à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Définition (uniforme continuité)
Soit {f} un élément de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.
On dit que {f} est uniformément continue sur {I} si : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\;\forall\,(x,y)\in I\times I,\\[6pts]|x-y|\le\delta\Rightarrow|f(x)-f(y)|\le\varepsilon\end{array}}

La définition précédente doit se lire de la manière suivante : Pour tout réel strictement positif {\varepsilon} (sous-entendu aussi petit soit-il), il existe un réel strictement positif {\delta} (dépendant a priori de {\varepsilon}) tel que, pour tous éléments {x,y} de {I} distants de moins de {\delta}, alors ls images {f(x),f(y)} sont distantes de moins de {\varepsilon}.

Pour montrer qu’une fonction n’est pas uniformément continue

Soit {f:I\to\mathbb{K}} une fonction dont on souhaite prouver qu’elle n’est pas uniformément continue sur {I}.

Si on prend la négation de la définition, on doit prouver l’existence de {\varepsilon>0} tel que, pour tout {\delta>0}, on peut trouver {x} et {y} dans {I} tels que {|x-y|\lt \delta} mais cependant tels que {|f(x)-f(y)|\ge\varepsilon}.

Il revient au même (et c’est plus simple) de trouver deux suites {(x_n),(y_n)} de l’intervalle {I} telles que {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(y_n-x_n)=0}, mais telles qu’on n’ait pas {\displaystyle\lim_{n\to\infty}(f(y_n)-f(x_n))=0}

Continuité et continuité uniforme

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