Applications linéaires

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Notion d’application linéaire

Définition (applications linéaires d'un espace vectoriel dans un autre)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Une application {f} de {E} dans {F} est dite linéaire si : {\begin{cases}\forall\, (u,v)\in E^2\\\forall\,\lambda\in\mathbb{K}\end{cases},\;\begin{cases}f(u+v)=f(u)+f(v)&\cr f(\lambda u)=\lambda f(u)&\end{cases}}

On dit aussi que {f} est un morphisme d’espaces vectoriels.

Premières propriétés

{f:E\to F} est linéaire si et seulement si : {\begin{array}{l}\forall\, (u,v)\in E^2,\,\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\\[9pts]\quad f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\end{array}}Si {f} est linéaire, alors {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,f(u_i)} pour toute combinaison linéaire.
On exprime cette propriété en disant qu’une application linéaire « conserve les combinaisons linéaires ».

Si {f:E\to F} est linéaire, alors {f(0_E)=0_F} (utile pour montrer la non-linéarité).

Notations et terminologie

On note {\mathcal{L}(E,F)} l’ensemble des applications linéaires de {E} dans {F}.
Un endomorphisme de {E} est une application linéaire de {E} dans lui-même.
On note {\mathcal{L}(E)} (plutôt que {\mathcal{L}(E,E)}) l’ensemble des endomorphismes de {E}.

Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
On dit qu’un isomorphisme de {E} dans lui-même est un automorphisme de {E}.
On dit qu’une application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}} est une forme linéaire.

Premiers exemples d’applications linéaires

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez : Mathprepa.fr est le site des mathématiques et de l'informatique des deux années des classes prépa scientifiques: plus de 2500 exercices et 200 problèmes (soigneusement corrigés), un cours complet (maths et info), plus de 400 sujets de concours, des Quiz (plus de 600 questions), etc. Un contenu sans équivalent, dans une présentation fluide et professionnelle adaptée à tous les écrans, pour une souscription de 15€ (6 mois), 25€ (1 an) ou 35€ (2 ans).

Page suivante : endomorphismes