Applications linéaires

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Notion d’application linéaire

Définition (applications linéaires d'un espace vectoriel dans un autre)
Soit {E} et {F} deux espaces vectoriels sur {\mathbb{K}}.
Une application {f} de {E} dans {F} est dite linéaire si : {\begin{cases}\forall\, (u,v)\in E^2\\\forall\,\lambda\in\mathbb{K}\end{cases},\;\begin{cases}f(u+v)=f(u)+f(v)&\cr f(\lambda u)=\lambda f(u)&\end{cases}}

On dit aussi que {f} est un morphisme d’espaces vectoriels.

Premières propriétés

{f:E\to F} est linéaire si et seulement si : {\begin{array}{l}\forall\, (u,v)\in E^2,\,\forall\,(\alpha,\beta)\in\mathbb{K}^2,\\[9pts]\quad f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v)\end{array}}Si {f} est linéaire, alors {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,f(u_i)} pour toute combinaison linéaire.
On exprime cette propriété en disant qu’une application linéaire “conserve les combinaisons linéaires”.

Si {f:E\to F} est linéaire, alors {f(0_E)=0_F} (utile pour montrer la non-linéarité).

Notations et terminologie

On note {\mathcal{L}(E,F)} l’ensemble des applications linéaires de {E} dans {F}.
Un endomorphisme de {E} est une application linéaire de {E} dans lui-même.
On note {\mathcal{L}(E)} (plutôt que {\mathcal{L}(E,E)}) l’ensemble des endomorphismes de {E}.

Un isomorphisme est une application linéaire bijective.
On dit qu’un isomorphisme de {E} dans lui-même est un automorphisme de {E}.
On dit qu’une application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}} est une forme linéaire.

Premiers exemples d’applications linéaires

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