Endomorphismes

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Structure d’anneau de {(\mathcal{L}(E),+,\circ)}

L’application identité, notée {\text{Id}_E}, définie par {\text{Id}_{E}(u)=u} pour tout {u}, est un automorphisme de {E}.
Si {f} et {g} sont deux endomorphismes de {E}, alors {g\circ f} est un endomorphisme de {E}.
Il en résulte que {(\mathcal{L}(E),+,\circ)} est muni d’une structure d’anneau.

On note souvent {gf} la composée des endomorphismes {g} et {f}, plutôt que {g\circ f}.

Si {f\in(\mathcal{L}(E)}, on note {f^n=f\circ f\circ\cdots\circ f} ({n} fois), avec par convention {f^{0}=\text{Id}_{E}}.

Homothéties d’un espace vectoriel

Pour tout scalaire {\lambda}, l’application {h_\lambda:~u\to\lambda u} est un endomorphisme de {E}.
Pour tous scalaires {\lambda,\mu}, on a {h_{\lambda}\circ{h_\mu}=h_{\lambda\mu}}.
L’application {h_{\lambda}} un automorphisme si {\lambda\ne0}, et alors {h_{\lambda}^{-1}=h_{1/\lambda}}.
Si {\lambda\ne0}, on dit que {h_{\lambda}} est l’homothétie de rapport {\lambda}.

Endomorphismes qui commutent

Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

Si {E} est réduit à {\{0\}}, alors {\mathcal{L}(E)} est réduit à l’application nulle (sans grand intérêt). Si {E} est une droite vectorielle, alors {\mathcal{L}(E)} se réduit à l’application nulle et aux homothéties de {E} (et la loi {\circ} est commutative).

Dans tous les autres cas, donc dès que {\dim(E)\ge2}, l’anneau {(\mathcal{L}(E),+,\circ)} est non commutatif (autrement dit : il existe des endomorphismes {f} et {g} tels que {f\circ g\ne g\circ f}).

On dit que deux endomorphismes {f,g} de {E} commutent si {f\circ g=g\circ f}.

Les homothéties {h_{\lambda}:u\mapsto \lambda u} de {E} commutent avec tous les endomorphismes de {E}.

Si {f} et {g} commutent dans {\mathcal{L}(E)}, on peut utiliser la formule du binôme : {\forall n\in\mathbb{N},\;(f+g)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk f^k\circ g^{n-k}}

En particulier, pour tout {f\in\mathcal{L}(E)} et tout {\lambda\in\mathbb{K}}, on a : {\forall n\in\mathbb{N},\;(f+\lambda\text{Id}_{E})^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk \lambda^{n-k}f^k}

Le groupe linéaire {(GL(E),\circ)}

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