Formes linéaires, hyperplans

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Formes linéaires

Définition (formes linéaires sur un espace vectoriel)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

.
On appelle forme linéaire sur

{E}

toute application linéaire de

{E}

dans

{\mathbb{K}}

Remarques et exemples

Si une forme linéaire ${f}$ n’est pas identiquement nulle, alors elle est surjective (et donc de rang ${1}$ ).
L’application de ${\mathbb{R}^{3}}$ dans ${\mathbb{R}}$ définie par ${f(x,y,z)=2x-3y+5z}$ est une forme linéaire sur ${\mathbb{R}^{3}}$ .
L’application ${\varphi:f\mapsto\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t}$ est une forme linéaire sur ${\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})}$ .
Soit ${E={\mathcal F}(I,\mathbb{K})}$ l’espace des applications définies sur l’intervalle ${I}$ et à valeurs dans ${\mathbb{K}}$
Soit ${x_0}$ un élément de ${I}$ . L’application ${\varphi:f\mapsto f(x_0)}$ est une forme linéaire sur ${E}$ .

Définition (formes linéaires coordonnées)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

. Soit

{(e_{i})_{i\in I}}

une base de

{E}

.
On sait que tout vecteur

{u}

{E}

s’écrit de façon unique

{u=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}e_{i}}

(somme à support fini).
Pour tout

{i}

{I}

, on note

{e_{i}^{*}}

l’application qui au vecteur

{u}

associe sa coordonnée

{x_{i}}

sur le vecteur

{e_{i}}

.
Les applications

{(e_{i}^{*})_{i\in I}}

sont des formes linéaires sur

{E}

.
On les appelles les « formes linéaires coordonnées » sur

{E}

relativement à la base

{(e_{i})_{i\in I}}

Proposition (en dimension finie, les formes linéaires coordonnées forment une base)
Soit

{E}

un espace vectoriel sur

{\mathbb{K}}

, de dimension finie

{n}

. Soit

{(e_{i})_{1\le i\le n}}

une base de

{E}

.
Alors la famille

{(e_{i}^{*})_{1\le i\le n}}

des formes linéaires coordonnées est une base de

{\mathcal{L}(E,\mathbb{K})}

Soit ${E}$ un espace de dimension finie ${n}$ , muni d’une base ${(e_{i})_{1\le i\le n}}$ . Soit ${f}$ une forme linéaire sur ${E}$ .
Alors ${f}$ s’écrit, de manière unique : ${f=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\,e_i^{*}}$ . Dans cette écriture on a ${a_{i}=f(e_{i})}$ .
Autrement dit, ${f}$ est définie de façon unique sous la forme : ${f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\,e_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{k=1}^na_i\,x_i}$ .

Considérons ainsi ${\mathbb{R}^{3}}$ avec sa base canonique ${e_{1}=(1,0,0)}$ , ${e_{2}=(0,1,0)}$ , ${e_{3}=(0,0,1)}$ .

Les formes linéaires coordonnées sont définies par : ${\forall\, (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},\;\begin{cases}e_{1}^{*}(x,y,z)=x\\ e_{2}^{*}(x,y,z)=y\\ e_{3}^{*}(x,y,z)=z\end{cases}}$

Les formes linéaires sur ${\mathbb{R}^3}$ sont les applications ${f=a e_{1}^{*}+be_{2}^{*}+ce_{3}^{*}}$ , où ${(a,b,c)}$ est dans ${\mathbb{R}^3}$ .

Ou encore : les formes linéaires sur ${\mathbb{R}^3}$ sont les applications ${(x,y,z)\mapsto ax+by+cz}$ .
Par exemple si ${f}$ est définie par ${f(x,y,z)=2x-3y+5z}$ , on a ${\begin{cases}f(e_{1})=2\\ f(e_{2})=-3\\ f(e_{3})=5\end{cases}}$

Hyperplans vectoriels

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