Formes linéaires, hyperplans

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Formes linéaires

Définition (formes linéaires sur un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
On appelle forme linéaire sur {E} toute application linéaire de {E} dans {\mathbb{K}}.

Remarques et exemples

  • Si une forme linéaire {f} n’est pas identiquement nulle, alors elle est surjective (et donc de rang {1}).
  • L’application de {\mathbb{R}^{3}} dans {\mathbb{R}} définie par {f(x,y,z)=2x-3y+5z} est une forme linéaire sur {\mathbb{R}^{3}}.
  • L’application {\varphi:f\mapsto\displaystyle\int_a^bf(t)\,\text{d}t} est une forme linéaire sur {\mathcal{C}([a,b],\mathbb{K})}.
  • Soit {E={\mathcal F}(I,\mathbb{K})} l’espace des applications définies sur l’intervalle {I} et à valeurs dans {\mathbb{K}}
    Soit {x_0} un élément de {I}. L’application {\varphi:f\mapsto f(x_0)} est une forme linéaire sur {E}.
Définition (formes linéaires coordonnées)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(e_{i})_{i\in I}} une base de {E}.
On sait que tout vecteur {u} de {E} s’écrit de façon unique {u=\displaystyle\sum_{i\in I}x_{i}e_{i}} (somme à support fini).
Pour tout {i} de {I}, on note {e_{i}^{*}} l’application qui au vecteur {u} associe sa coordonnée {x_{i}} sur le vecteur {e_{i}}.
Les applications {(e_{i}^{*})_{i\in I}} sont des formes linéaires sur {E}.
On les appelles les « formes linéaires coordonnées » sur {E} relativement à la base {(e_{i})_{i\in I}}.
Proposition (en dimension finie, les formes linéaires coordonnées forment une base)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, de dimension finie {n}. Soit {(e_{i})_{1\le i\le n}} une base de {E}.
Alors la famille {(e_{i}^{*})_{1\le i\le n}} des formes linéaires coordonnées est une base de {\mathcal{L}(E,\mathbb{K})}.

Soit {E} un espace de dimension finie {n}, muni d’une base {(e_{i})_{1\le i\le n}}. Soit {f} une forme linéaire sur {E}.
Alors {f} s’écrit, de manière unique : {f=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\,e_i^{*}}. Dans cette écriture on a {a_{i}=f(e_{i})}.
Autrement dit, {f} est définie de façon unique sous la forme : {f\Bigl(\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\,e_i\Bigr)=\displaystyle\sum_{k=1}^na_i\,x_i}.

Considérons ainsi {\mathbb{R}^{3}} avec sa base canonique {e_{1}=(1,0,0)}, {e_{2}=(0,1,0)}, {e_{3}=(0,0,1)}.

Les formes linéaires coordonnées sont définies par : {\forall\, (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3},\;\begin{cases}e_{1}^{*}(x,y,z)=x\\ e_{2}^{*}(x,y,z)=y\\ e_{3}^{*}(x,y,z)=z\end{cases}}

Les formes linéaires sur {\mathbb{R}^3} sont les applications {f=a e_{1}^{*}+be_{2}^{*}+ce_{3}^{*}}, où {(a,b,c)} est dans {\mathbb{R}^3}.

Ou encore : les formes linéaires sur {\mathbb{R}^3} sont les applications {(x,y,z)\mapsto ax+by+cz}.
Par exemple si {f} est définie par {f(x,y,z)=2x-3y+5z}, on a {\begin{cases}f(e_{1})=2\\ f(e_{2})=-3\\ f(e_{3})=5\end{cases}}

Hyperplans vectoriels

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