Détermination des applications linéaires

Plan du chapitre "Applications linéaires"

Applications linéaires et familles de vecteurs

Proposition (applications linéaires et familles génératrices)
Soit

{E}

{F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

{f}

une application linéaire de

{E}

dans

{F}

.
Soit

{(u_i)_{i\in I}}

une famille génératrice de

{E}

. Alors

{(f(u_i))_{i\in I}}

est génératrice dans

{\text{Im}(f)}

.
En particulier, si

{f}

est surjective, alors la famille

{(f(u_i))_{i\in I}}

est génératrice dans

{F}

Une application linéaire surjective transforme donc une famille génératrice en une famille génératrice.

Proposition (applications linéaires et familles libres)
Soit

{E}

{F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

et soit

{f}

une application linéaire de

{E}

dans

{F}

.
Soit

{(u_i)_{i\in I}}

une famille d’éléments de

{E}

.
Si la famille

{(u_i)_{i\in I}}

est liée, alors la famille

{(f(u_i))_{i\in I}}

est liée.
Si la famille

{(u_i)_{i\in I}}

est libre et si

{f}

est injective, alors la famille

{(f(u_i))_{i\in I}}

est libre.

Une application linéaire injective transforme donc une famille libre en une famille libre.

Proposition (image d'une base par un isomorphisme)
Soit

{E}

{F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

et soit

{f}

un isomorphisme de

{E}

sur

{F}

.
Soit

{(u_i)_{i\in I}}

une base de

{E}

. Alors la famille

{(f(u_i))_{i\in I}}

est une base de

{F}

Une application linéaire bijective transforme donc une base en une base.
On peut finalement énoncer un résultat plus général, qui indique qu’une application linéaire ${f}$ est déterminée de manière unique par les images des vecteurs d’une base.
De plus les propriétés de la famille image renseignent sur les propriétés de ${f}$ (injectivité, surjectivité) :

Proposition (applications linéaires et bases)
Soit

{E}

{F}

deux espaces vectoriels sur

{\mathbb{K}}

{E}

étant muni d’une base

{(e_i)_{i\in I}}

.
Soit

{(v_i)_{i\in I}}

une famille quelconque de vecteurs de

{F}

.
Alors il existe une unique application linéaire

{f}

{E}

dans

{F}

telle que :

{\forall\, i\in I, f(e_i)=v_i}

l’application ${f}$ est injective si et seulement si la famille ${(v_i)_{i\in I}}$ est libre dans ${F}$ .
l’application ${f}$ est surjective si et seulement si ${(v_i)_{i\in I}}$ est génératrice dans ${F}$ .
l’application ${f}$ est bijective si et seulement si la famille ${(v_i)_{i\in I}}$ est une base de ${F}$ .

On retiendra en particulier :

Soit ${f=E\to F}$ une application linéaire.
Alors ${f}$ est un isomorphisme si et seulement si ${f}$ transforme une base de ${E}$ en une base de ${F}$ .
Elle transforme alors toute base de ${E}$ en une base de ${F}$ .

Restrictions aux sous-espaces d’une somme directe

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