Exercices Mpsi Pcsi
Chapitre 09. Analyse asymptotique

Un développement asymptotique

On considère l’équation (E_n):\text{e}^x=x^n, avec n\in\mathbb{N}.
1. Montrer que pour n assez grand (E_n) a dans {\mathbb{R}^{+*}} deux solutions {u_{n}\lt v_{n}}.
2. Montrer que la suite {(u_{n})} converge vers une limite {\ell} que l’on précisera
\quadDonner un équivalent de {u_{n}-\ell} quand {n} tend vers {+\infty}.
3. Calculer {\displaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}v_{n}} puis donner un équivalent de {v_{n}} quand {n} tend vers {+\infty}.
4. Donner un développement asymptotique à deux termes de {v_{n}}.