Exercices corrigés
| Exercice 1. Soit {f(x)=\sqrt{x(\sin x+\text{sh} x-2x)}} ({x\ge0}). Développement limité de f en {0}, à l’ordre {6}. |
| Exercice 2. On pose {\tan x_{n}=x_{n}}, avec {x_n\in I_n=\Bigl]n\pi-\dfrac\pi2,n\pi+\dfrac\pi2\Bigr[}. Montrer que {x_n=an+b+\dfrac cn+\dfrac d{n^2}+\text{o}\Big(\dfrac 1{n^2}\Big)}. |
| Exercice 3. Soit {f_0(x)=1-x} et {f_{n+1}(x)=\dfrac1{2-f_n(x)}}. Développement limité de f_n en {0}, à l’ordre {5}. |
| Exercice 4. On pose {f(x)=\dfrac{\sqrt{1+x}-\sqrt[3]{1-3x}}{\sqrt[3]{1+\frac32x}+\sqrt{4+5x}}}. Développement limité de f en {0}, à l’ordre {3}. |
| Exercice 5. Montrer que l’équation {\ln x+x=\lambda} a une solution unique {x_\lambda}. Donner {a,b,c} tels que :{x_\lambda=a\lambda+b\ln\lambda+c\dfrac{\ln \lambda}\lambda+\text{o}\Big(\dfrac{\ln \lambda}\lambda\Big)}quand {\lambda\rightarrow+\infty}. |