Exercices Mpsi Pcsi
Chapitre 15. Géométrie, sous-espaces affines

Le théorème de Pappus

On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} du plan.
Soient {A,B,C} trois points distincts de {\mathcal{D}}. Soient {A',B',C'} trois points distincts de {\mathcal{D}'}.
Montrer que si {\begin{cases}(AB')\parallel(BA')\\ (BC')\parallel(CB')\end{cases}} alors {(CA')\parallel(AC')}.

Le théorème de Ceva

On considère trois droites {\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C}.
On suppose qu’elles passent respectivement par les trois {A,B,C} non alignés.
{\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C} coupent respectivement {(BC),(CA),(AB)} en {A',B',C'}.
Montrer l’équivalence : {\Bigl(\mathcal{D}_A,\mathcal{D}_B,\mathcal{D}_C\text{\ parallèles ou concourantes\ }\Bigr)\Leftrightarrow\dfrac{\overline{A'B}}{\overline{A'C}}\cdot\dfrac{\overline{B'C}}{\overline{B'A}}\cdot\dfrac{\overline{C' A}}{\overline{C' B}}=-1}

Le théorème de Menelaüs

Soient {A,B,C} trois points non alignés du plan.
On se donne {A',B',C'} sur {(BC),(AC),(AB)}, distincts de {A,B,C}.
Montrer que : {\Bigl(A',B',C'\text{\ aligné\ }\Bigr)\Leftrightarrow\dfrac{\overline{A' B}}{\overline{A' C}}\cdot\dfrac{\overline{B' C}}{\overline{B' A}}\cdot\dfrac{\overline{C' A}}{\overline{C' B}}=1}

Le théorème de Thalès

On se donne deux droites distinctes {\mathcal{D}} et {\mathcal{D}'} du plan.
Soient {A,B,C,A',B',C'} six points distincts : {A,B,C} sur {\mathcal{D}} et {A',B',C'} sur {\mathcal{D}'}.
On suppose que {(AA')\parallel(BB')}.
Montrer que : {(AA')\parallel(CC')\Leftrightarrow\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}} (Théorème de Thalès)