Événements, probabilités

• Événements, probabilités
• Conditionnement et indépendance
• Variables aléatoires
• Couples de variables aléatoires
• Indépendance de variables aléatoires
• Espérance d'une variable aléatoire
• Variance, écart-type

Espace probabilisé

Dans tout ce qui suit, on va étudier des situations dans le déroulement desquelles intervient le hasard (on parlera d’« expériences aléatoires ») et à l’issue desquelles on peut dire si tel ou tel événement particulier s’est, ou ne s’est pas, produit.

Pour estimer les « chances » que possède un événement de se produire effectivement (et avant même que l’expérience aléatoire n’ait débuté), on cherchera à lui attribuer une probabilité.

Il est souvent possible (mais pas toujours nécessaire, ni même utile) de décrire l’ensemble des « issues » de l’expérience (on parle aussi de « résultats élémentaires »).

Cet ensemble {\Omega} est appelé « univers » ou « ensemble des possibles ». Avec ce vocabulaire, un événement peut être vu comme une collection particulière d’issues de l’expérience.

Le programme de première année se limite au cas où l’univers {\Omega} est fini.

Notre objectif, dans un premier temps, est de fournir un modèle mathématique rendant compte du concept d’expérience aléatoire, d’événement au sein de cette expérience, et qui permette de définir précisément la probabilité qu’un tel événement « se produise ».

{\vartriangleright} Terminologie des expériences aléatoires

• On fait le choix d’un ensemble fini {\Omega}, appelé univers, et qui décrit de façon assez informelle l’ensemble des issues possibles (ou résultats possibles ou réalisations) de l’expérience aléatoire étudiée.
  Il n’est souvent ni nécessaire ni même utile d’en donner une définition précise.
• Les éléments {A} de {\mathcal{P}(\Omega)} (ce sont donc des parties de {\Omega}) sont appelés événements.
  Les événements sont donc des collections d’issues élémentaires de l’expérience.
• Les singletons {\{\omega\}}, avec {\omega} dans {\Omega}, sont appelés événements élémentaires.
• Quand l’expérience aléatoire « se déroule », elle se conclut par une issue {\omega} (un élément de {\Omega}).
  Si {A} est un événement et si cette issue {\omega} est dans {A}, on dit alors que l’« événement {A} est réalisé ».
• L’ensemble {\emptyset} est appelé événement impossible, et l’ensemble {\Omega} est appelé événement certain.
  Si {A} est un événement, on dit que {\overline{A}} est l’événement contraire de {A}.
• Soit {A} et {B} deux événements :

  — si {A\subset B}, on dit que {A} implique {B};

  — si {A\cap B=\emptyset}, on dit que {A} et {B} sont incompatibles (ou tout simplement : disjoints);

  — {A\cap B} est appelé « événement {A} et {B} »;

  — {A\cup B} est appelé « événement {A} ou {B} ».