Variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Variable aléatoire sur {\Omega}

Définition (variable aléatoire sur Ω)
Soit {\Omega} un univers fini. Soit {E} un ensemble.
Toute application {\text{X}\colon\Omega\to E} est appelée une variable aléatoire. Si {E=\mathbb{R}}, on dit que {X} est une variable aléatoire réelle.
Remarque :

La définition d’une variable aléatoire ne nécessite pas la connaissance d’une probabilité {\mathbb{P}}.

En revanche, si {\text{X}} est une variable aléatoire sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}, on sera intéressé aux probabilités des événements {(\text{X}=x)} (à suivre…).

Définition (variable indicatrice d'un événement)
Soit {\Omega} un univers fini. Soit {A} un événement.
On appelle indicatrice de l’événement {A} la variable aléatoire réelle {\chi_{A}} définie par {\forall\, \omega\in A,\; \chi_{A}(\omega)=1,\;\text{et}\;\forall\, \omega\notin A,\; \chi_{A}(\omega)=0}
Proposition (événements liés à une variable aléatoire)
Soit {\text{X}:\Omega\to E} une variable aléatoire sur {\Omega}.
Soit {x} un élément de {E}, et soit {U} une partie de {E}.
L’événement {\text{X}^{-1}(\{x\})=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)= x\}} est noté {(X=x)}.
L’événement {\text{X}^{-1}(U)=\{\omega\in\Omega,\;\text{X}(\omega)\in U\}} est noté {(X\in U)}.

Remarque :

Soit {\text{X}} une variable aléatoire réelle sur {\Omega}.

On considère souvent les événements notés :{(\text{X}\le a),\;(a\le \text{X}\le b),\;(\text{X}>a),\;\text{etc.}}

Loi et fonction de répartition d’une variable aléatoire

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