Conditionnement et indépendance

Plan du chapitre "Probabilités"

Il est sous-entendu que tous les énoncés de cette sous-section (définitions et propositions) commencent par la même phrase « Soit {(\Omega,\mathbb{P})} un espace probabilisé fini ».

Proposition (probabilité conditionnelle de A sachant B)
Soit {B} un événement tel que {\mathbb{P}(B)>0}.
Pour tout événement {A}, on pose {\mathbb{P}_{B}(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}}.
Alors {\mathbb{P}_{B}} est une probabilité sur {\Omega}, dite « application probabilité conditionnée à {B}« .
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Le réel {\mathbb{P}_{B}(A)=\dfrac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}} est aussi noté {\mathbb{P}(A\mid B)}.

Ce réel est appelé « probabilité conditionnelle de {A} sachant {B}« .

Avec cette définition, on a l’égalité importante : {\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\;\mathbb{P}_{B}(A)}

Convention d’écriture

Si {\mathbb{P}(B)=0} (donc {\mathbb{P}(A\cap B)=0}) on convient que : {\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(B)\,\mathbb{P}(A\mid B)=0}.

Dans ce cas, on évitera d’utiliser la notation {\mathbb{P}_{B}}.

Proposition (formule des probabilités composées)
Soit {(A_{n})_{n\ge0}} une suite d’événements.
Pour tout {n} de {\mathbb{N}}, posons {B_{n}=\displaystyle\bigcap_{0\le k\le n}A_k}.
Il est clair que la suite {n\mapsto\mathbb{P}(B_{n})} est décroissante.
Pour tout {n} tel que {\mathbb{P}(B_{n})>0}, on a : {\mathbb{P}(B_{n+1})=\mathbb{P}(A_{0})\displaystyle\prod_{k=0}^{n}\mathbb{P}_{B_{k}}(A_{k+1})}

Pour {n=0}, si {\mathbb{P}(A_{0})>0} : {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1})=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})}Pour {n=1}, si {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1})>0)} : {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}}(A_{2})}Pour {n=2}, si {\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})>0} : {\begin{array}{l}\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})\\[9pts]=\mathbb{P}(A_{0})\,\mathbb{P}_{A_{0}}(A_{1})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}}(A_{2})\,\mathbb{P}_{A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}}(A_{3})\end{array}}

En utilisant l’autre notation pour les probabilités conditionnelles, cela s’écrit :
{\begin{array}{l}\mathbb{P}(A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})\\[9pts]=\mathbb{P}(A_{0})\;\mathbb{P}(A_{1}\mid A_{0})\;\mathbb{P}(A_{2}\mid A_{0}\cap A_{1})\\[6pts]\quad\mathbb{P}(A_{3}\mid A_{0}\cap A_{1}\cap A_{2})\end{array}}

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