Indépendance de variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Couples de variables aléatoires indépendantes

Définition (indépendance de deux variables aléatoires)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires sur un espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}.
On dit que {\text{X}} et {\text{Y}} sont indépendantes si : {\begin{array}{l}\forall\, (x,y)\in \text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)\\[6pts]\mathbb{P}(\text{X}=x,\text{Y}=y)=\mathbb{P}(\text{X}=x)\,\mathbb{P}(\text{Y}=y)\end{array}}

Remarques

  • L’indépendance de {\text{X}} et {\text{Y}} implique que, pour tout {x} de {\text{X}(\Omega)} tel que {\mathbb{P}(\text{X}=x)>0}, la loi conditionnelle de {\text{Y}} sachant {(\text{X}=x)} est égale à la loi de {\text{Y}}.

    Autrement dit :
    {\begin{array}{l}\begin{cases}\forall\, (x,y)\in \text{X}(\omega)\text{\ (avec\ }\mathbb{P}(\text{X}=x)>0)\\[3pts]\forall\, y \in \text{Y}(\omega)\end{cases}\\\\\quad\mathbb{P}_{(\text{X}=x)}(\text{Y}=y)=\mathbb{P}(\text{Y}=y)\end{array}}

  • L’indépendance de {\text{X}} et {\text{Y}} signifie que, pour tout {(x,y)} de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}, les événements {(\text{X}=x)} et {(\text{Y}=y)} sont indépendants.
  • En général, l’indépendance de deux variables aléatoires résulte du modèle décrivant l’expérience. C’est donc plus une hypothèse a priori qu’une conséquence d’un calcul.
  • Si une variable aléatoire {\text{X}} est constante (ou seulement « presque constante ») elle est indépendante de toute autre variable aléatoire.
Proposition (caractérisation de l'indépendance)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires sur l’espace probabilisé fini {(\Omega,\mathbb{P})}.
Alors {\text{X},\text{Y}} sont indépendantes si et sulement si : {\begin{array}{l}\forall\, A\subset \text{X}(\Omega),\;\forall\, B\subset \text{Y}(\Omega)\\[6pts]\mathbb{P}(\text{X}\in A,\text{Y}\in B)=\mathbb{P}(\text{X}\in A)\,\mathbb{P}(\text{Y}\in B)\end{array}}
Démonstration
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Proposition (fonctions de deux variables aléatoires indépendantes)
Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires indépendantes sur {(\Omega,\mathbb{P})}.
Soit {\text{X}'=\varphi(\text{X})} une fonction de {\text{X}} et {\text{Y}'=\psi(\text{Y})} une fonction de {\text{Y}}.
Alors {\text{X}'} et {\text{Y}'} sont indépendantes.
Démonstration
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Variables mutuellement indépendantes

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