Couples de variables aléatoires

Plan du chapitre "Probabilités"

Couples de variables aléatoires

Proposition (couples de deux variables aléatoires)
Soient {\text{X}:\Omega\to E} et {\text{Y}:\Omega\to F} deux variables aléatoires sur un univers fini {\Omega}.
On définit une variable aléatoire {\text{Z}:\Omega\to E\times F} en posant : {\forall\,\omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}.

La proposition précédente admet une réciproque :

Proposition (composantes d'une variable aléatoire à valeurs dans ExF)
Soit {\Omega} un univers fini. Soit {\text{Z}:\Omega\to E\times F} une variable aléatoire.
Soient {\text{X}} et {\text{Y}} les composantes de {\text{Z}}, définies par : {\forall\, \omega\in\Omega,\;\text{Z}(\omega)=(\text{X}(\omega),\text{Y}(\omega))}.
Alors les applications {\text{X}:\Omega\to E} et {\text{Y}:\Omega\to F} sont des variables aléatoires.
Définition (couple de variables aléatoires)
Soit {\Omega} un univers fini.
Dans les propositions précédentes, on dit que {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} est un couple de variables aléatoires.
On retiendra qu’il importe peu que {\text{X},\text{Y}} préexistent à {\text{Z}} ou au contraire s’en déduisent.

On remarquera également que {\text{Z}(\Omega)} est une partie (souvent stricte) de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}.

Pour tout {(x,y)} de {\text{X}(\Omega)\times \text{Y}(\Omega)}, l’événement {(\text{Z}=(x,y))} sera noté {(\text{X}=x,\text{Y}=y)}.

{\vartriangleright} Combinaisons linéaires de variables aléatoires réelles

Soit {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} un couple de variables aléatoires réelles.

Pour tous scalaires {\lambda,\mu}, l’application {\lambda \text{X}+\mu \text{Y}} est une variable aléatoire réelle.

Il suffit en effet d’appliquer à {\text{Z}=(\text{X},\text{Y})} la fonction {\varphi} définie sur {\mathbb{R}^{2}} par {\varphi(x,y)=\lambda x+\mu y}.

L’ensemble des variables aléatoires réelles sur {\Omega} est donc un {\mathbb{R}}-espace vectoriel.
Remarque : pour des raisons similaires, l’application {\text{X}\text{Y}} est une variable aléatoire réelle sur {\Omega}.

{\vartriangleright} Vecteurs aléatoires

On peut généraliser ce qui précède à une application de {\Omega} dans un produit cartésien {F_{1}\times\cdots\times F_{n}}.

Si on note {\text{Z}=(\text{X}_{1},\ldots,\text{X}_{n})}, dire que {\text{Z}} est une variable aléatoire sur {\Omega} équivaut à dire que chacune des applications {\text{X}_{i}:\Omega\to F_{i}} est une variable aléatoire.

On dit alors que {\text{Z}} est un vecteur de variables aléatoires.

On peut aussi définir une variable aléatoire fonction {\varphi(\text{X}_{1},\text{X}_{2},\ldots,\text{X}_{n})} des {n} variables aléatoires {\text{X}_{i}}.

Loi conjointe, loi marginale, loi conditionnelle

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