- Cardinal d'un ensemble fini
- Calculs de quelques cardinaux usuels
- p-listes et combinaisons
- Ensembles dénombrables
Pour tout entier naturel, on note :{E_n=[[ 1,n]]=\{m\in\mathbb{N},1\le m\le n\}} (et donc {E_{0}=\emptyset}).
La fonction Python E ci-contre renvoie la liste ordonnée des éléments de {E_{n}} :
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1 2 3 |
>>> def E(n) : return list(range(1,n+1)) >>> E(10) [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10] |
On se donne ici deux éléments {n} et {p} de {\mathbb{N}^{*}}.
- il existe une injection de {E_n} dans {E_p} si et seulement si {n\le p}.
- il existe une surjection de {E_n} sur {E_p} si et seulement si {n\ge p}.
- il existe une bijection de {E_n} sur {E_p} si et seulement si {n=p}.
Un ensemble non vide {A} est dit fini s’il existe une bijection de {E_n} sur {A}, avec {n\ge0}.
L’entier {n}, s’il existe, est unique et est appelé le cardinal de {A}. On note {n=\text{card}(A)}.
En particulier {\text{card}(\emptyset)=0}. Un ensemble non fini est dit infini.
le cardinal d’un ensemble fini {A} est également noté {\left|A\right|}, ou {\#A}.
On peut dire que {E_{n}=[[0,n-1]]} est l’ensemble « modèle » de tout ensemble fini de cardinal {n} (un peu comme {\mathbb{K}^{n}} est le modèle des espaces vectoriels de dimension {n}).
La bijection {f:E_{n}\to A} représente une « numérotation » des éléments de {A}. Cette numérotation est exhaustive (surjectivité de {f}), et à deux indices différents {i} et {j} correspondent deux éléments différents {a_{i}} et {a_{j}} de {A} (c’est l’injectivité de {f}).
Intuitivement, l’entier {\text{card}(A)} représente le « nombre d’éléments » de {A} (conformément au programme de la classe de MPSI, on en reste d’ailleurs le plus souvent à cette formulation intuitive).
Si {m\le n}, l’intervalle {A=[[ m,n]]} est fini de cardinal {n-m+1}. En effet l’application {f} définie par {f(k)=k+m-1} est bijective de {E_{n-m+1}} sur {A}.
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