Cardinal d’un ensemble fini

Plan du chapitre "Dénombrements"

Pour tout entier naturel, on note :{E_n=[[ 1,n]]=\{m\in\mathbb{N},1\le m\le n\}} (et donc {E_{0}=\emptyset}).

La fonction Python E ci-contre renvoie la liste ordonnée des éléments de {E_{n}} :

Proposition (existence d'injections, de surjections, de bijections, entre E_{n} et E_{p})
On se donne ici deux éléments {n} et {p} de {\mathbb{N}^{*}}.

  • il existe une injection de {E_n} dans {E_p} si et seulement si {n\le p}.
  • il existe une surjection de {E_n} sur {E_p} si et seulement si {n\ge p}.
  • il existe une bijection de {E_n} sur {E_p} si et seulement si {n=p}.

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Définition (notion d'ensemble fini)
Un ensemble non vide {A} est dit fini s’il existe une bijection de {E_n} sur {A}, avec {n\ge0}.
L’entier {n}, s’il existe, est unique et est appelé le cardinal de {A}. On note {n=\text{card}(A)}.
En particulier {\text{card}(\emptyset)=0}. Un ensemble non fini est dit infini.
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Notation :
le cardinal d’un ensemble fini {A} est également noté {\left|A\right|}, ou {\#A}.

On peut dire que {E_{n}=[[0,n-1]]} est l’ensemble « modèle » de tout ensemble fini de cardinal {n} (un peu comme {\mathbb{K}^{n}} est le modèle des espaces vectoriels de dimension {n}).

La bijection {f:E_{n}\to A} représente une « numérotation » des éléments de {A}. Cette numérotation est exhaustive (surjectivité de {f}), et à deux indices différents {i} et {j} correspondent deux éléments différents {a_{i}} et {a_{j}} de {A} (c’est l’injectivité de {f}).

Intuitivement, l’entier {\text{card}(A)} représente le « nombre d’éléments » de {A} (conformément au programme de la classe de MPSI, on en reste d’ailleurs le plus souvent à cette formulation intuitive).

Si {m\le n}, l’intervalle {A=[[ m,n]]} est fini de cardinal {n-m+1}. En effet l’application {f} définie par {f(k)=k+m-1} est bijective de {E_{n-m+1}} sur {A}.

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