Généralités sur les espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

On rappelle que {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.

Espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, avec {\mathbb{K}=\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}

Définition (structure d'espace vectoriel sur K)
On dit que l’ensemble {E} est un espace vectoriel sur {\mathbb{K}} (ou encore un {\mathbb{K}}-espace vectoriel) si :

  • {E} est muni d’une loi interne + pour laquelle il a une structure de groupe commutatif.
  • Il existe une application {(\alpha,u)\to\alpha u} de {\mathbb{K}\times E} dans {E}, dite loi externe, telle que,
    pour tous {\alpha,\beta} dans {\mathbb{K}}, et pour tous {u,v} dans {E} :
    {\begin{cases}(\alpha\!+\!\beta)u=\alpha u\!+\!\beta u, \ \alpha(u\!+\!v)=\alpha u\!+\!\alpha v\\[3pts] \alpha(\beta u)=(\alpha\beta)u,\qquad\ 1u=u&\end{cases}}

Les éléments d’un {\mathbb{K}}-espace vectoriel {E} sont appelés vecteurs et ceux de {\mathbb{K}}sont appelés scalaires.
Le neutre du groupe ({E},+) est noté {0} (parfois {0_{E}}) et est appelé vecteur nul.
L’espace vectoriel {E} est parfois noté {(E,+,\cdot)} pour rappeler l’existence des deux lois.
Un {\mathbb{C}}-espace vectoriel est aussi un {\mathbb{R}}-espace vectoriel, mais doivent être considérés comme différents.

Proposition (règles de calcul dans un espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.
Pour tout scalaire {\alpha} et pour tous vecteurs {u} et {v} :

  • on a l’équivalence : {\alpha u=0\Leftrightarrow(\alpha=0\;\text{ou}\; u=0)}.
  • on a les égalités : {\begin{cases}\alpha(-u)=(-\alpha)u=-(\alpha u)\\[3pts]\alpha(u-v)=\alpha u-\alpha v\end{cases}}

Exemples d’espaces vectoriels

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