Espaces de dimension finie

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Existence de bases en dimension finie

Définition (notion d'espace vectoriel de dimension finie)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel.
On dit que {E} est de dimension finie si {E} possède une famille génératrice finie.

Avec cette définition, l’espace réduit à {\{0\}} est de dimension finie.
Si un espace vectoriel n’est pas de dimension finie, il est dit… de dimension infinie.
C’est le cas de l’espace vectoriel {\mathbb{K}[X]} des polynômes à coefficients dans {\mathbb{K}}.
Remarque : à ce stade, on sait ce qu’est un espace vectoriel de dimension finie {E}, mais on ne sait pas encore ce qu’est (donc ce que vaut) la dimension de {E}.

Proposition (existence de bases dans un espace de dimension finie)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{K}}.
Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille génératrice finie de {E}.
Soit {J} une partie de {I} pour laquelle la famille {(u_{j})_{j\in J}} est libre.
Alors il existe une partie {K} telle que {J\subset K\subset I}
et pour laquelle {(u_{k})_{k\in K}} est une base de {E}.
Conséquence : dans tout espace vectoriel de dimension finie, il existe des bases.
Proposition (théorèmes de la base extraite et de la base incomplète)
Soit {E} un espace vectoriel de dimension finie sur {\mathbb{K}}.
Théorème “de la base extraite” : de toute famille génératrice de {E} on peut extraire une base.
Théorème “de la base incomplète” : toute famille libre de {E} peut être complétée en une base.

Dimension d’un espace de dimension finie

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