Sous-espaces et dimension

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Dimension d’un sous-espace d’un espace de dimension finie

Proposition (sous-espaces d'un espace vectoriel de dimension finie)
Soit {E} un {\mathbb{K}}-espace vectoriel de dimension {n}. Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors {F} est de dimension finie et {\dim(F)\le\dim(E)}, avec égalité si et seulement si {F=E}.

Sous-espaces de {\mathbb{R}^{2}}

Les sous-espaces vectoriels de {\mathbb{R}^{2}} sont {\{0\}}, {\mathbb{R}^{2}} lui-même, et les droites vectorielles {\mathbb{R} u} avec {u\ne0}.
Si {u=(a,b)\ne0}, alors : {\begin{array}{rl}v(x,y)\in\mathbb{R} u&\Leftrightarrow\biggl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\end{cases}\biggr)\\\\&\Leftrightarrow bx-ay=0\end{array}}

Sous-espaces de {\mathbb{R}^{3}}

Les sous-espaces de {\mathbb{R}^{3}} sont {\{0\}}, {\mathbb{R}^{3}} lui-même, les droites {\mathbb{R} u} et les plans {\mathbb{R} u\oplus\mathbb{R} v}.

  • Soit {u=(a,b,c)} non nul dans {\mathbb{R}^{3}}. Alors :{\begin{array}{rl}v(x,y,z)\in\mathbb{R} u&\Leftrightarrow\biggl(\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\begin{cases}x=\lambda a\\ y=\lambda b\\ z=\lambda c\end{cases}\biggr)\\\\&\Leftrightarrow \dfrac{x}{a}=\dfrac{y}{b}=\dfrac{z}{c}\end{array}}

    (si {a=0}, remplacer par {x=0}).

  • Soit {u=(a,b,c)} et {v=(a’,b’,c’)} deux vecteurs non colinéaires.
    Posons {h=(a”,b”,c”)}, avec {a”=bc’-cb’}, {b”=ca’-ac’}, {c”=ab’-ba’}.
    (le vecteur {w} est non nul dans {\mathbb{R}^{3}}).

    Alors on a les équivalences : {\begin{array}{l}w(x,y,z)\in\mathbb{R} u\oplus\mathbb{R} v\\\\\Leftrightarrow \exists\,(\lambda,\mu)\in\mathbb{R}^{2},\;\begin{cases}x=\lambda a+\mu a’\\ y=\lambda b+\mu b’\\ z=\lambda c+\mu c’\end{cases}\\\\\Leftrightarrow a”x+b”y+c”z=0\end{array}}

Supplémentaires en dimension finie

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