Familles génératrices, libres. Bases

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

On rappelle que la lettre {\mathbb{K}} désigne indifféremment {\mathbb{R}} ou {\mathbb{C}}.
Dans ce qui suit, les familles de scalaires {(\lambda_{i})_{i\in I}} sont toujours supposées “à support fini”.

Familles génératrices, familles libres

Définition (familles génératrices)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
On dit que la famille {(u_i)_{i\in I}} est génératrice dans {E} si {\text{Vect}(u_i)_{i\in I}=E}.
Cela signifie que tout vecteur {u} de {E} est, au moins d’une manière, combinaison linéaire des {u_{i}}.
Définition (familles libres)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {(u_{i})_{i\in I}} une famille d’éléments de {E}.
On dit que {(u_i)_{i\in I}} est libre si on a l’implication : {\displaystyle\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i=0\Rightarrow(\,\forall i\in I,\,\lambda_i=0\,)}On exprime aussi cette situation en disant que les {u_{i}} sont linéairement indépendants.
Sinon, donc s’il existe des {\lambda_i} non tous nuls tels que {\sum_{i\in I}\lambda_i\,u_i=0}}, on dit que la famille {(u_i)_{i\in I}}est liée, ou encore que les {u_{i}} sont linéairement dépendants.

Dans la proposition précédente, on ne doit pas confondre “non tous nuls” et “tous non nuls”.

Cas d’une famille finie de vecteurs

On se donne {n} vecteurs {u_{1},u_{2},\ldots,u_{n}} de l’espace vectoriel {E}.
Dire que ces vecteurs “engendrent” {E}, c’est dire que : {\forall\, v\in E,\;\exists\,(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^{n},\;v=\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i}Dire qu’ils sont libres, c’est dire que : {\begin{array}{l}\forall\, (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)\in\mathbb{K}^n,\\[9pts]\Bigl(\,\displaystyle\sum_{i=1}^n\lambda_i\,u_i=0\Rightarrow \lambda_1=\cdots=\lambda_n=0\Bigr)\end{array}}Une famille réduite à un seul vecteur {u} est libre si et seulement si ce vecteur est non nul.

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