Sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Notion de sous-espace vectoriel

Définition (sous-espace vectoriel)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} une partie non vide de {E}.
On dit que {F} est un sous-espace vectoriel de {E} si :{\forall(u,v)\in F^2,\;\forall\lambda\in\mathbb{K},\;\begin{cases}u+v\in F\cr \lambda u\in F\end{cases}}Il revient au même d’écrire : {\forall(u,v)\in F^2,\;\forall(\lambda,\mu)\in\mathbb{K}^{2},\;\lambda u+\mu v\in F}
Proposition
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}, et soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Alors l’ensemble {F}, muni des “lois induites”, est lui-même un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}.

La réciproque de la propriété est vraie. On comprendra donc l’expression “sous-espace vectoriel” comme une traduction de l’inclusion d’un espace vectoriel dans un autre.

Remarques

On dit souvent sous-espace plutôt que sous-espace vectoriel.
Tous les sous-espaces vectoriels de {E} contiennent au moins le vecteur nul de {E}.
Pour montrer que {F} est un sous-espace vectoriel de {E}, on n’oubliera pas la condition {F\ne\emptyset}.
On vérifiera par exemple que le vecteur nul {0} de {E} appartient à {F}.

Définition (stabilité par combinaisons linéaires)
Soit {F} un sous-espace vectoriel de {E}.
Pour toute famille {(u_i)_{i\in I}} de vecteurs de {F}, et toute famille {(\lambda_i)_{i\in I}} de {\mathbb{K}} (à support fini),
la combinaison linéaire {\sum_{i\in I}\lambda_iu_i} est encore un élément de {F}.
On exprime cette propriété en disant que {F} est stable par combinaisonslinéaires.

Exemples usuels

  • Pour tout espace vectoriel {E}, le singleton {\{0\}} et {E} lui-même sont des sous-espaces vectoriels de {E}.
    On dit que {\{0\}} est le “sous-espace nul” de {E}.
  • L’ensemble {\mathbb{K}_n[X]} des polynômes de degré inférieur ou égal à {n} est un sous-espace de {\mathbb{K}[X]}.
  • Soit {I} un intervalle de {\mathbb{R}}, et soit {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})} l’espace vectoriel des fonctions de {I} dans {\mathbb{K}}.
    L’ensemble {{\mathcal C}(I,\mathbb{K})} des fonctions continues de {I} dans {\mathbb{K}} est un sous-espace de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.
    L’ensemble {{\mathcal C}^k(I,\mathbb{K})} des fonctions de classe {{\mathcal C}^{k}} est un sous-espace de {{\mathcal C}(I,\mathbb{K})} donc de {\mathcal{F}(I,\mathbb{K})}.

Droites vectorielles et plans vectoriels

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