Somme de sous-espaces vectoriels

Plan du chapitre "Espaces vectoriels"

Somme de deux sous-espaces vectoriels

Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}. On sait que {F\cap G} est un sous-espace de {E}.

En revanche {H=F\cup G} n’est pas un sous-espace de {E}, sauf si {F\subset G} ou {G\subset F}.

Définition (somme de deux sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}.
On pose {F+G=\{u+v,u\in F,v\in G\}}.
On dit que {F+G} est la somme des deux sous-espaces {F} et {G}.
Proposition (une caractérisation de la somme de deux sous-espaces vectoriels)
Avec les notations précédentes, {F+G} est un sous-espace vectoriel de {E}.
Plus précisément, {F+G=\text{Vect}(F\cup G)}, le plus petit sous-espace de {E} contenant {F} et {G}.
Définition (somme directe de deux sous-espaces vectoriels)
Soit {E} un espace vectoriel sur {\mathbb{K}}. Soit {F} et {G} deux sous-espaces de {E}.
Les conditions suivantes sont équivalentes :

  • tout vecteur {w} de {F+G} s’écrit de façon unique {w=u+v}, avec {u\in F} et {v\in G}.
  • pour tout {u\in F} et tout {v\in G}, on a l’implication : {u+v=0\Rightarrow u=v=0}.
  • l’intersection {F\cap G} est réduite à {\{0\}}.

Si elles sont réalisées, on dit que {F} et {G} sont en somme directe, et {F+G} est notée {F\oplus G}.

Couples de sous-espaces supplémentaires

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