Notation cartésienne, plan complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire

Proposition (opérations sur l'ensemble ℝ²)
On munit l’ensemble

{\mathbb{R}^2}

des deux lois suivantes :

{\begin{array}{l}\forall\,(x,y,x',y')\in\mathbb{R}^4,\\\quad\begin{cases}(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')\cr(x,y)(x',y')=(xx'-yy',xy'+ yx')\end{cases}\end{array}}

Muni de ces deux lois,

{\mathbb{R}^2}

est un « corps commutatif ». Plus précisément :

Le neutre pour la loi ${+}$ est ${(0,0)}$ , et l’opposé de ${(x,y)}$ est ${(-x,-y)}$ .
Le neutre pour le produit est ${(1,0)}$ .
Pour tout ${z=(x,y)}$ non nul, l’inverse de ${z}$ est : ${\dfrac 1z=\Big(\dfrac x{x^2+y^2},\dfrac{-y}{x^2+y^2}\Big)}$ .

Définition (nombres complexes, notation provisoire)
On note

{\mathbb{C}}

l’ensemble

{\mathbb{R}^2}

quand il est muni deux lois précédentes.
Ses éléments

{z=(x,y)}

sont appelés nombres complexes.

Proposition (ℝ considéré comme une partie de ℂ)
L’application

{\varphi\colon x\mapsto(x,0)}

est bijective de

{\mathbb{R}}

sur

{\mathbb{K}=\{(x,0),x\in\mathbb{R}\}}

.
De plus, pour tous réels

{x,x'}

, on a :

{\begin{cases}\varphi(x+x')=\varphi(x)+\varphi(x')\\\varphi(xx')=\varphi(x)\varphi(x')\end{cases}}

Cela permet d’identifier algébriquement le couple ${(x,0)}$ avec le réel ${x}$ .
De cette manière, on peut donc considérer que ${\mathbb{R}}$ est une partie de ${\mathbb{C}}$ .

Définition (le nombre i et la notation cartésienne des nombres complexes)
On pose

{i=(0,1)}

. On rappelle que pour

{x\in\mathbb{R}}

, on identifie

{(x,0)}

{x}

.
Par définition, tout

{z}

{\mathbb{C}}

s’écrit de façon unique

{z=(x,y)}

, avec

{x,y}

réels.
De plus

{z=(x,y)}

s’écrit

{z=(x,0)+(0,1)(y,0)}

, c’est-à-dire

{z=x+iy}

.
On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) des nombres complexes.
Le réel

{x}

est appelé partie réelle de

{z}

et est noté

{\text{Re}(z)}

.
Le réel

{y}

est appelé partie imaginaire de

{z}

et est noté

{\text{Im}(z)}

Définition (nombres complexes réels ou imaginaires purs)
Dire que

{z}

est réel, c’est dire que sa partie imaginaire

{\text{Im}(z)}

est nulle.
On dit que

{z}

est imaginaire pur si

{\text{Re}(z)=0}

, c’est-à-dire si

{z=iy}

, avec

{y}

dans

{\mathbb{R}}

Attention : dire que le complexe ${z}$ n’est pas réel ne signifie pas qu’il est imaginaire pur!

Identifications entre parties réelles et parties imaginaires

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez :

avoir une souscription active sur mathprepa
et être connecté au site

Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

revenir à la page d'accueil
ou tester la page d'extraits libres
ou consulter le plan du site

Page suivante : module et distance dans le plan complexe