Notation cartésienne, plan complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Notation cartésienne, partie réelle, partie imaginaire

Proposition (opérations sur l'ensemble ℝ²)
On munit l’ensemble {\mathbb{R}^2} des deux lois suivantes :
{\begin{array}{l}\forall\,(x,y,x’,y’)\in\mathbb{R}^4,\\\quad\begin{cases}(x,y)+(x’,y’)=(x+x’,y+y’)\cr(x,y)(x’,y’)=(xx’-yy’,xy’+ yx’)\end{cases}\end{array}}Muni de ces deux lois, {\mathbb{R}^2} est un “corps commutatif”. Plus précisément :

  • Le neutre pour la loi {+} est {(0,0)}, et l’opposé de {(x,y)} est {(-x,-y)}.
  • Le neutre pour le produit est {(1,0)}.
  • Pour tout {z=(x,y)} non nul, l’inverse de {z} est : {\dfrac 1z=\Big(\dfrac x{x^2+y^2},\dfrac{-y}{x^2+y^2}\Big)}.

Définition (nombres complexes, notation provisoire)
On note {\mathbb{C}} l’ensemble {\mathbb{R}^2} quand il est muni deux lois précédentes.
Ses éléments {z=(x,y)} sont appelés nombres complexes.
Proposition (ℝ considéré comme une partie de ℂ)
L’application {\varphi\colon x\mapsto(x,0)} est bijective de {\mathbb{R}} sur {\mathbb{K}=\{(x,0),x\in\mathbb{R}\}}.
De plus, pour tous réels {x,x’}, on a :{\begin{cases}\varphi(x+x’)=\varphi(x)+\varphi(x’)\\\varphi(xx’)=\varphi(x)\varphi(x’)\end{cases}}

Cela permet d’identifier algébriquement le couple {(x,0)} avec le réel {x}.
De cette manière, on peut donc considérer que {\mathbb{R}} est une partie de {\mathbb{C}}.

Définition (le nombre i et la notation cartésienne des nombres complexes)
On pose {i=(0,1)}. On rappelle que pour {x\in\mathbb{R}}, on identifie {(x,0)} et {x}.
Par définition, tout {z} de {\mathbb{C}} s’écrit de façon unique {z=(x,y)}, avec {x,y} réels.
De plus {z=(x,y)} s’écrit {z=(x,0)+(0,1)(y,0)}, c’est-à-dire {z=x+iy}.
On a ainsi obtenu la notation cartésienne (ou algébrique) des nombres complexes.
Le réel {x} est appelé partie réelle de {z} et est noté {\text{Re}(z)}.
Le réel {y} est appelé partie imaginaire de {z} et est noté {\text{Im}(z)}.
Définition (nombres complexes réels ou imaginaires purs)
Dire que {z} est réel, c’est dire que sa partie imaginaire {\text{Im}(z)} est nulle.
On dit que {z} est imaginaire pur si {\text{Re}(z)=0}, c’est-à-dire si {z=iy}, avec {y} dans {\mathbb{R}}.

Attention : dire que le complexe {z} n’est pas réel ne signifie pas qu’il est imaginaire pur!

Identifications entre parties réelles et parties imaginaires

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