Module et distance dans le plan complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module d’un nombre complexe

Définition (module d'un nombre complexe)
Soit {z=x+iy} ({x} et {y} réels) un nombre complexe.
La quantité {\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}} est appelée module de {z}.

Relation entre le module et le conjugué

On voit que {z\overline{z}=\left|z\right|^2} (égalité utile pour se “débarrasser” du module).

En particulier, si {z} est non nul, l’inverse de {z} s’écrit {\dfrac1z=\dfrac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}}.

Si {z} est réel, le module de {z} est égal à sa valeur absolue.
Les notations {\left|\;\;\right|} (valeur absolue dans {\mathbb{R}} et module dans {\mathbb{C}}) sont donc “compatibles”.

Module d’un produit, d’un quotient

Pour tous {z} et {z’} de {\mathbb{C}}, on a :{\left|z\right|\ge0,\quad\left|z\right|=0\Leftrightarrow z=0,\quad\left|zz’\right|=\left|z\right|\,\left|z’\right|}
Plus généralement, pour {z_1,\ldots,z_n}, on a : {\Bigl|\displaystyle\prod_{k=1}^nz_k\Big|=\displaystyle\prod_{k=1}^n\left|z_k\right|}.
En particulier : {\forall\, n\in\mathbb{N},\left|z^n\right|=\left|z\right|^n}.

Si {z\ne0}, alors: {\left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac1{\left|z\right|}}, et {\left|\dfrac{z’}{z}\right|{}=\dfrac{\left|z’\right|}{\left|z\right|}}.

Inégalité triangulaire

Pour tous {z,z’} de {\mathbb{C}}, on a : {\left|z+z’\right|\le\left|z\right|+\left|z’\right|}

La condition d’égalité est : {\exists\,\lambda\in\mathbb{R}^+} tel que {z’=\lambda z} ou {z=\lambda z’}).

L’inégalité précédente se complète en : {|\left|z\right|-\left|z’\right||\le\left|z\pm z’\right|}.
On peut donc écrire l’encadrement: {\big|\left|z\right|-\left|z’\right|\big|\le\left|z\pm z’\right|\le\left|z\right|+\left|z’\right|}.

Conséquence : si {\left|z\right|\le k\lt 1}, alors {1-k\le\left|1+z\right|\le1+k}.

Pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on a aussi :
{\max(\left|\text{Re}(z)\right|,\left|{\text{Im}(z)}\right|)\le\left|z\right|\le\left|{\text{Re}(z)}\right|+\left|{\text{Im}(z)}\right|}

Généralisation au module d’une somme de {n} nombres complexes

Soient {z_1,z_2,\ldots,z_n} dans {\mathbb{C}}. Alors {\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^nz_k\Big|\le\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|}

L’inégalité précédente est une égalité si et seulement les {z_k} sont les produits de l’un d’entre eux par des réels positifs (c’est-à-dire, géométriquement, si les {M_k(z_k)} sont sur une même demi-droite issue de {O}).

Module du carré d’une somme

Voici comment on peut développer le carré du module d’une somme (ou d’une différence) :

Pour tout {u} et {v} de {\mathbb{C}}, {\begin{cases}\left|{u+v}^2\right|=\left|{u}\right|^2+2\,\text{Re}(u\,\overline{v})+\left|{v}\right|^2\\\left|{u-v}^2\right|=\left|{u}\right|^2-2\,\text{Re}(u\,\overline{v})+\left|{v}\right|^2\end{cases}}

En ajoutant ces deux égalités, on obtient : {\left|{u+v}^2\right|+\left|{u-v}^2\right|=2\bigl(\left|{u}\right|^2+\left|{v}\right|^2\bigr)}.

Tout ça se généralise : on a en effet
{\Big|\displaystyle\sum_{k=1}^nz_k\Big|^2=\displaystyle\sum_{k=1}^n\left|z_k\right|^2+<br /> 2\sum_{1\le j\lt k\le n}\text{Re}(z_j\,\overline{z_k})}

Distance dans le plan complexe

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