Équation du second degré dans ℂ

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Racines carrées d’un nombre complexe

Proposition
Tout nombre complexe non nul {Z} admet exactement deux racines carrées, et elles sont opposées.

Méthode algébrique :

On pose {Z=A+iB}, et on cherche {z=x+iy}, avec {A,B,x,y} dans {\mathbb{R}}.

On a les équivalences : {\begin{array}{l}z^2=Z\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=A\\2xy=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} x^2-y^2=A\\ x^2+y^2=|Z|\\ 2xy=B\end{cases}\\\\\quad\Leftrightarrow\begin{cases}x^2=\dfrac{|Z|+A}2\\ y^2=\dfrac{|Z|-A}2\\ 2xy=B\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=\varepsilon\,\sqrt{\,\dfrac{|Z|+A}2\,}&\\y=\varepsilon’\,\sqrt{\,\dfrac{|Z|-A}2}\end{cases}\\\\\quad\text{\ avec\ }\varepsilon,\varepsilon’\in\{-1,1\}\;\text{et}\;\varepsilon\varepsilon’\text{\ du signe de\ }B\end{array}}

Par exemple :

Si {Z=7-24i}, on a {\left|{Z}\right|=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25}et en posant {z=x+iy} :
{\begin{array}{l}z^{2}=Z\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=7\cr2xy=-24\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2-y^2=7\cr x^{2}+y^{2}=25\cr xy=-12\end{cases}\\\\\quad\Leftrightarrow \begin{cases}x^2=16\cr y^{2}=9\cr xy=-12\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}(x=4\;\text{et}\; y=-3)\cr\;\text{ou}\;(x=-4\;\text{et}\; y=3)\end{cases}\end{array}}Les deux racines carrées de {Z=7-24i} sont donc {\begin{cases}z_{1}=4-3i\\z_{2}=-z_{1}=-4+3i\end{cases}}
Méthode trigonométrique :

On pose {\begin{cases}Z=R\text{e}^{i\varphi}\\z=\rho\text{e}^{i\theta}\end{cases}}, avec {\begin{cases}R>0,\rho>0\\\varphi,\theta\end{cases}} dans {\mathbb{R}}.

On a les équivalences :
{\begin{array}{l}z^2=Z\Leftrightarrow \rho^2\text{e}^{2i\theta}=R\text{e}^{i\varphi}\\\\\quad\Leftrightarrow\begin{cases}\rho^2=R\\2\theta=\varphi\ [2\pi]\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}\ [\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\\\\\quad\Leftrightarrow \begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}\ [2\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\;\text{ou}\;\begin{cases}\rho=\sqrt{R}\\\theta=\dfrac{\varphi}{2}+\pi\ [2\pi]\phantom{\biggl(}\end{cases}\end{array}}

et on obtient les deux solutions :{z=\sqrt{R}\text{e}^{i\varphi/2}\;\text{et}\;}z=-\sqrt{R}\text{e}^{i\varphi/2}Par exemple:

Si {Z=2\sqrt3+2i=4\text{e}^{i\pi/6}}, et en posant {z=\rho\text{e}^{i\theta}} :
{\begin{array}{rl}z^{2}=Z&\Leftrightarrow\rho^{2}\text{e}^{2i\theta}=4\text{e}^{i\pi/6}\\\\&\Leftrightarrow \Big(\rho=2\;\text{et}\; \theta=\dfrac{\pi}{12}~[\pi]\Bigr)\\\\&\Leftrightarrow \Bigl(z=2\text{e}^{i\pi/12}\;\text{ou}\; z=2\text{e}^{7i\pi/12}\Bigr)\end{array}}

Équations du second degré dans ℂ

Pour voir la suite de cette page, vous devez :

Page précédente : forme trigonométrique (polaire)
Page suivante : racines n-ièmes dans ℂ