Exponentielle complexe

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Définition de exp(z) pour z dans ℂ

Définition (la fonction exponentielle complexe)
Soit {z=x+iy} (avec {x,y} dans {\mathbb{R}}) un nombre complexe.
On pose {\exp(z)=\text{e}^x\,\text{e}^{iy}}, quantité également notée {\text{e}^{z}}.
On définit ainsi une application {z\mapsto \exp(z)} de {\mathbb{C}} dans {\mathbb{C}}, appelée exponentielle complexe.

Premières propriétés:

  • La restriction à {\mathbb{R}} de la fonction {z\to\exp(z)} est l’exponentielle réelle déjà connue.
    De même, sa restriction aux imaginaires purs est l’application {i\theta\to\text{e}^{i\theta}} définie précédemment.
  • Pour tout complexe {z=x+iy} (avec {x,y\in\mathbb{R}}) on a, par définition :
    {\begin{cases}\left|{\exp(z)}\right|=\text{e}^{x}&\cr\arg(\exp(z))=y~[2\pi]&\end{cases}}
    En particulier, {\exp(z)} n’est jamais nul.
    On note également que, pour tout {z} de {\mathbb{C}}, on a : {\exp(\overline{z})=\overline{\exp(z)}}.
  • On constate l’équivalence: {\exp(z)=1\Leftrightarrow\exists\, k\in\mathbb{Z}} tel que {z=2ik\pi}.

Propriétés de la fonction exponentielle

Proposition (relation fonctionnelle fondamentale)
Pour tous nombres complexes {z} et {z’}, on a l’égalité: {\exp(z+z’)=\exp(z)\,\exp(z’)}.
On en déduit que, pour tout {z} de {\mathbb{C}}: {\exp(z)} est non nul et {\dfrac 1{\exp (z)}=\exp(-z)}.
Proposition (périodicité de la fonction exponentielle complexe)
On a l’équivalence: {\exp(z)=\exp(z’)\Leftrightarrow z\equiv z’\;(2i\pi)}.
L’application exponentielle {z\mapsto\exp(z)} est donc périodique de période {2i\pi}.

Images d’une droite par la fonction exponentielle

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