Interprétations géométriques

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module et argument de {\dfrac{z-b}{z-a}}

Dans cette sous-section, on désigne par {A} et {B} deux points distincts, d’affixes respectives {a} et {b}.

On note {M} un point quelconque du plan, distinct de {A} et {B}, d’affize {z}.

On s’intéresse à l’application {\varphi:z\mapsto\varphi(z)=\dfrac{z-a}{z-b}}, définie sur {\mathbb{C}\setminus\{b\}}, et à valeurs dans {\mathbb{C}\setminus\{1\}}.

Par commodité, on identifie {\varphi} avec la transformation {M(z)\mapsto N(\varphi(z))} du plan complexe.

Proposition
Soient {A,B,M} trois points distincts du plan complexe, d’affixes respectives {a,b,z}.
Avec ces notations: {\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=\dfrac{AM}{BM}}, et {\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\bigl(\widehat{\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}}\bigr)~[2\pi]}

En particulier: {M} est aligné avec {A} et {B} si et seulement si {\dfrac{z-a}{z-b}} est un nombre réel.
De même: les droites {(AM)} et {(BM)} sont orthogonales si et seulement si {\dfrac{z-a}{z-b}} est imaginaire pur.

Ensemble des points {M(z)} tels que {\left|{\dfrac{z-a}{z-b}}\right|=k>0}

  • Si {k=1}, cet ensemble est la médiatrice {\Delta} du segment {[A;B]}.
  • Si {0\lt k\lt 1}, c’est un cercle centré sur {(AB)} et contenu dans le demi-plan défini par {\Delta} et {A}.
  • Si {k>1}, c’est un cercle centré sur {(AB)} et contenu dans le demi-plan défini par {\Delta} et {B}.

Ensemble des points {M(z)} tels que {\arg\Bigl({\dfrac{z-a}{z-b}}\Bigr)=\theta~[\pi]}

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