Forme trigonométrique (polaire)

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Module et argument d’un nombre complexe non nul

Proposition (forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul)
Soit {z} un nombre complexe non nul.
Il existe un unique réel {\rho>0} et une unique classe de réels {\theta} modulo {2\pi}, telle que {z=\rho\,\text{e}^{i\theta}}.
On dit que cette écriture de {z} est sa “forme trigonométrique”, ou encore sa “forme polaire”.
Cette classe de réels modulo {2\pi} est appelée l’argument de {z}. Chacun des réels {\theta} de cette classe est appelée une détermination de l’argument de {z} (ou, par abus de langage, un argument de {z}), et on note: {\arg z=\theta~[2\pi]}.

Interprétation dans le plan complexe

L’interprétation de l’écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} est claire :

  • Le réel {\rho>0} est le module de {z}
  • {\theta} est une mesure de l’angle orienté {\bigl(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\bigr)}

Pour tout {z\ne0}, il y a une unique détermination de l’argument dans tout intervalle {]\alpha,\alpha+2\pi]}, et en particulier dans {]-\pi,\pi]} (cette dernière étant appelé détermination principale de l’argument de {z}).

On a {0=\rho\text{e}^{i\theta}}, avec {\rho=0} et pour tout réel {\theta}.
Parler de l’argument de {z=0} n’a donc aucun sens.

La seule écriture {z=\rho\text{e}^{i\theta}} ne caractérise pas la forme polaire, car il faut imposer {\rho>0}.
Si {\rho\lt 0}, la forme polaire de {\rho\text{e}^{i\theta}} est {(-\rho)\text{e}^{i(\theta+\pi)}}

Forme polaire et forme cartésienne

Soit {z\in\mathbb{C}^*}l, écrit sous les deux formes {z=x+iy=\rho\text{e}^{i\theta}} ({\rho>0}).

Dans un sens : {\begin{cases}x=\rho\cos\theta\\ y=\rho\sin\theta\end{cases}}

Dans l’autre sens : {\begin{cases}\rho=\left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos\theta=\dfrac x\rho,\quad\sin\theta=\dfrac y\rho\end{cases}} (ce qui détermine {\rho}, et {\theta~[2\pi]})

On note que si {x\ne0} ({z} non imaginaire pur), alors {\tan\theta=\dfrac yx} (ce qui détermine {\theta~[\pi]}).

Si {z} n’est pas un réel négatif, alors {\tan\dfrac\theta2=\dfrac y{x+\rho}} (ce qui détermine {\theta} modulo {2\pi}).

Si {z\ne0}, mais si on n’est pas certain du signe du réel {\rho} : {z=\rho\text{e}^{i\theta}\Leftrightarrow \begin{cases}\Bigl(\rho=|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z=\theta~[2\pi]\Bigr)\\[6pts]\text{ou}\Bigl(\rho=-|\,z\,|{\;\text{et}\;}\arg z =\theta +\pi~[2\pi]\Bigr)\end{cases}}

Cas particuliers

Soit {z} un nombre complexe non nul. On a les équivalences :
{\begin{cases}z\text{\ réel\ }\Leftrightarrow\arg z=0~[\pi]\\ z\text{\ imaginaire pur\ }\Leftrightarrow\arg z=\dfrac\pi2~[\pi]\end{cases}} et {\begin{cases}z\in\mathbb{R}^{+*}\Leftrightarrow\arg z=0~[2\pi]\\z\in\mathbb{R}^{-*}\Leftrightarrow\arg z=\pi(2\pi)\end{cases}}

Forme polaire et opérations dans {\mathbb{C}}

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