Trigonométrie circulaire

Plan du chapitre "Nombres complexes"

Une définition des fonctions {t\mapsto\text{e}^{it},\;t\mapsto\cos(t),\;t\mapsto\sin(t)}

Paradoxalement, il faut attendre la deuxième année de classe préparatoire pour une définition “rigoureuse” des fonctions usuelles {t\mapsto \cos t} et {t\mapsto \sin t}. On se contentera ici d’une définition intuitive qui consiste à “enrouler” sur le cercle unité l’axe vertical {\Delta} passant par {A(1)} et orienté vers le haut, comme indiqué ci-dessous.

On note {\text{e}^{it}} (c’est une définition) l’affixe du point {M’} sur lequel vient s’enrouler un point {M(1+it)} de {\Delta}.

On note {\pi} le demi-périmètre du cercle unité (considérons ça comme la définition de {\pi}!).

Le point {C(1+i\pi)} s’enroule alors sur le point {C’} d’affixe {-1}.

On a ainsi la remarquable égalité d’Euler : {\text{e}^{i\pi}+1=0}

De même on observe que : {\text{e}^{i\pi/2}=i} (le point {B} vient s’enrouler en {B’}), {\text{e}^{-i\pi/2}=-i} (le point {D} vient s’enrouler en {D’}) et {\text{e}^{2i\pi}=1} (après un tour complet, le point d’ordonnée {2\pi} sur {\Delta} vient s’enrouler en {A}).

Pour tout réel {t}, on pose {\text{e}^{it}=\cos t+i\sin t}
c’est notre définition des fonctions {\cos} et {\sin}.

La fonction {t\mapsto \text{e}^{it}} vérifie la relation fondamentale : {\forall\, (x,y)\in\mathbb{R}^{2},\;\text{e}^{ix}\,\text{e}^{iy}\,=\,\text{e}^{i(x+y)}}

Le figure ci-dessous illustre cette propriété:

  • La translation de hauteur {x}, de {A} à {M} sur {\Delta}, se traduit après enroulement en une rotation de centre {0} et d’angle {x} sur le cercle unité ({x} est en radians), et cette rotation envoie {M} sur {M’} (d’affixe {\text{e}^{ix}}).
    Algébriquement, cette opération se traduit par la multiplication par {\text{e}^{ix}} (qui amène de {1} à {\text{e}^{ix}}).
  • La translation de hauteur {x+y}, de {A} à {N} sur {\Delta}, se traduit en la rotation d’angle {x+y} sur le cercle unité (de {A} à {N’}), qui traduit algébriquement par le produit par {\text{e}^{i(x+y)}} (qui amène de {1} à {\text{e}^{i(x+y)}}).
  • On peut également enrouler {\Delta’} à partir de {M’}. La translation (sur {\Delta’}) qui envoie {M’} sur {P} se traduit par une rotation d’angle {y} qui envoie {M’} sur {N’} (ou encore, par la multiplication par {\text{e}^{iy}}).
  • Les deux rotations, d’angle {x} puis {y}, équivalent à la seule rotation d’angle {x+y}.
    Les deux produits, par {\text{e}^{ix}} puis {\text{e}^{iy}}, équivalent donc au seul produit par {\text{e}^{i(x+y)}}.
    L’égalité {\text{e}^{i(x+y)}=\text{e}^{ix}\text{e}^{iy}} en est la traduction.

Propriétés de l’application {t\mapsto\text{e}^{it}}

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