Calculs de primitives

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Primitives d’une fonction numérique

Dans cette section, ${I}$ est un intervalle de ${\mathbb{R}}$ , d’intérieur non vide.

Définition (primitive sur un intervalle)
Soit

{f}

une fonction de

{I}

dans

{\mathbb{R}}

. On dit qu’une fonction

{F:I\to\mathbb{R}}

est une primitive de

{f}

sur

{I}

{F}

est dérivable sur

{I}

et si, pour tout

{x}

{I}

, on a :

{F'(x)=f(x)}

Proposition (relation entre les primitives d'une même fonction)
Soit

{f:I\to\mathbb{R}}

une fonction numérique, et soit

{F}

une primitive de

{f}

sur

{I}

.
Les primitives de

{f}

sur

{I}

sont les fonctions

{x\mapsto G(x)=F(x)+\lambda}

, avec

{\lambda}

dans

{\mathbb{R}}

.
Pour tout

{a}

{I}

, et tout

{y_{0}}

dans

{\mathbb{R}}

, il existe une unique primitive

{G}

{f}

telle que

{G(a)=b}

Remarques

Les primitives de ${f}$ sur ${I}$ sont définies « à une constante additive près ».
On note souvent ${\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda}$ pour désigner l’ensemble des primitives de ${f}$ sur ${I}$ .
On dit alors communément que ${\lambda}$ est la « constante d’intégration ».

Par exemple ${\displaystyle\int\cos(x)\,\text{d}x=\sin(x)+\lambda}$ désigne l’ensemble des primitives de ${x\mapsto\sin(x)}$ sur ${\mathbb{R}}$ .
Dans cette notation, ${x}$ joue le rôle de « variable muette ».
Le symbole choisi n’a pas d’importance dans la mesure où il ne crée pas d’ambigüité.
Soit ${f:I\to\mathbb{R}}$ une fonction numérique. Soit ${F}$ et ${G}$ deux primitives de ${f}$ sur ${I}$ .
Si on souhaite déterminer la constante ${\lambda}$ telle que ${G=F+\lambda}$ , il suffit de calculer ${G(a)-F(a)}$ en un point de ${I}$ (ou de calculer la différence des limites de ${F}$ et ${G}$ en une extrémité de ${I}$ ).
Le calcul de primitives s’effectue toujours sur un intervalle.
Par exemple, parler des primitives de ${x\mapsto\dfrac{1}{x}}$ sur ${\mathbb{R}^{*}}$ n’a aucun sens.

Supposons par exemple que ${f}$ soit définie sur la réunion ${\mathcal{D}=I\cup J}$ de deux intervalles disjoints.
Supposons aussi que ${F,G}$ soient dérivables sur ${\mathcal{D}}$ et que : ${\forall\, x\in\mathcal{D},\;F'(x)=G'(x)=f(x)}$ .
D’une part : ${\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in I,\;G(x)=F(x)+\lambda}$ .
D’autre part : ${\exists\,\mu\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in J,\;G(x)=F(x)+\mu}$ .
Mais en aucun cas, on ne peut affirmer que les constantes ${\lambda}$ et ${\mu}$ sont égales.

Primitives usuelles

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