Calculs de primitives

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Primitives d’une fonction numérique

Dans cette section, {I} est un intervalle de {\mathbb{R}}, d’intérieur non vide.

Définition (primitive sur un intervalle)
Soit {f} une fonction de {I} dans {\mathbb{R}}. On dit qu’une fonction {F:I\to\mathbb{R}} est une primitive de {f} sur {I} si {F} est dérivable sur {I} et si, pour tout {x} de {I}, on a : {F'(x)=f(x)}.
Proposition (relation entre les primitives d'une même fonction)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique, et soit {F} une primitive de {f} sur {I}.
Les primitives de {f} sur {I} sont les fonctions {x\mapsto G(x)=F(x)+\lambda}, avec {\lambda} dans {\mathbb{R}}.
Pour tout {a} de {I}, et tout {y_{0}} dans {\mathbb{R}}, il existe une unique primitive {G} de {f} telle que {G(a)=b}.

Remarques

  • Les primitives de {f} sur {I} sont définies « à une constante additive près ».
    On note souvent {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda} pour désigner l’ensemble des primitives de {f} sur {I}.
    On dit alors communément que {\lambda} est la « constante d’intégration ».

    Par exemple {\displaystyle\int\cos(x)\,\text{d}x=\sin(x)+\lambda} désigne l’ensemble des primitives de {x\mapsto\sin(x)} sur {\mathbb{R}}.
    Dans cette notation, {x} joue le rôle de « variable muette ».
    Le symbole choisi n’a pas d’importance dans la mesure où il ne crée pas d’ambigüité.

  • Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique. Soit {F} et {G} deux primitives de {f} sur {I}.
    Si on souhaite déterminer la constante {\lambda} telle que {G=F+\lambda}, il suffit de calculer {G(a)-F(a)} en un point de {I} (ou de calculer la différence des limites de {F} et {G} en une extrémité de {I}).
  • Le calcul de primitives s’effectue toujours sur un intervalle.
    Par exemple, parler des primitives de {x\mapsto\dfrac{1}{x}} sur {\mathbb{R}^{*}} n’a aucun sens.

    Supposons par exemple que {f} soit définie sur la réunion {\mathcal{D}=I\cup J} de deux intervalles disjoints.
    Supposons aussi que {F,G} soient dérivables sur {\mathcal{D}} et que : {\forall\, x\in\mathcal{D},\;F'(x)=G'(x)=f(x)}.
    D’une part : {\exists\,\lambda\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in I,\;G(x)=F(x)+\lambda}.
    D’autre part : {\exists\,\mu\in\mathbb{R},\;\forall\, x\in J,\;G(x)=F(x)+\mu}.
    Mais en aucun cas, on ne peut affirmer que les constantes {\lambda} et {\mu} sont égales.

Primitives usuelles

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