Intégration sur un segment

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Intégrale d’une fonction continue

Nous admettrons le résultat suivant :

Proposition
Si {f:I\to\mathbb{R}} est une fonction continue, elle admet des primitives sur {I}.
Remarque : la réciproque de la propriété précédente est fausse (il existe des fonctions numériques qui admettent des primitives sur un intervalle {I} sans être continues en tout point de {I}) mais la question est relativement difficile et elle est hors-programme.

Définition (intégrale d'une fonction continue sur un segment)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a,b} deux éléments de {I}.
On note {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x} la quantité {F(b)-F(a)}, où {F} est une primitive quelconque de {f} sur {I}.
Cette quantité est appelée intégrale de {f} sur le segment {[a,b]} (ou « entre {a} et {b}« ).

Remarques

  • Si {f} vaut constamment {\lambda} sur {I}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\lambda(b-a)}.
  • La quantité {F(b)-F(a)}, notée {\bigl[F(x)\bigr]_{a}^{b}}, ne dépend pas de la primitive {F} choisie pour {f}.
  • Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction numérique continue. Soit {a} un élément de {I}.
    Alors la fonction {F:x\mapsto F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)\,\text{d}t} est la primitive de {f} sur {I} qui s’annule en {a}.
    Le nom de la « variable d’intégration » (ici {t}) doit être différent de celui de variable (ici {x}) de {F}.
  • Quand on calcule {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x}, on dit qu’on « intègre » {f} sur le segment {[a,b]}.
    Même si les deux notions sont très liées, on ne confondra pas la primitivation de {f} sur {I} (qui est l’art de chercher les primitives de {f} sur {I}, donc les fonctions dont la dérivée est {f}) avec l’intégration de {f} sur un segment {[a,b]} de {I} (le résultat est dans ce cas un réel).

Proposition (linéarité de l'intégrale)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur {I}. Soit {a} et {b} deux éléments de {I}.
Pour tous réels {\alpha,\beta}, on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}\!(\alpha f(x)\!+\!\beta g(x))\text{d}x\!=\!\alpha\displaystyle\int_{a}^{b}\!\!f(x)\text{d}x\!+\!\beta\displaystyle\int_{a}^{b}\!\!g(x)\text{d}x}
Proposition (positivité et croissance de l'intégrale)
Soit {f} et {g} deux fonctions continues sur le segment {[a,b]}, avec {a\lt b}.
Si {f\ge0} sur {[a,b]}, alors on a : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\ge0} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=0} sur tout {[a,b]}).
Si {f\le g} sur {[a,b]}, alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\le\displaystyle\int_{a}^{b}g(x)\,\text{d}x} (avec égalité {\Leftrightarrow f(x)=g(x)} sur tout {[a,b]}).
Remarque : l’hypothèse {a\lt b} est ici essentielle.

Proposition (relation de Chasles)
Soit {f:I\to\mathbb{R}}, continue. Soit {a,b,c} dans {I}.
Alors {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a}^{c}f(x)\,\text{d}x+\displaystyle\int_{c}^{b}f(x)\,\text{d}x}.

Interprétation de l’intégrale, en termes d’aire

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