Compléments sur les primitives

• Calculs de primitives
• Intégration sur un segment
• Compléments sur les primitives
• Extension aux fonctions à valeurs complexes
• Équations différentielles d'ordre 1
• Équations différentielles d'ordre 2

Le calcul d’une intégrale se ramène souvent au calcul d’une primitive.

Dans ce paragraphe, on va passer en revue quelques situations courantes.

Les méthodes décrites ici doivent être considérées comme des « compléments utiles » du cours.

On note {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=F(x)+\lambda} l’ensemble des primitives d’une application {f}.

Primitives de {\sin^p(x)\cos^q(x)}

Si on veut calculer {\displaystyle\int\sin^p(x)\cos^q(x)\,\text{d}x}, avec {p} et {q} dans {\mathbb{N}}, tout dépend de la parité de {p} et {q}.

• Si {p} est impair, on peut poser {t=\cos(x)} (donc {\,\text{d}t=-\sin(x)\,\text{d}x}) :
  {\begin{array}{l}\displaystyle\int\sin^3(x)\cos^4(x)\text{d}x=\displaystyle\int(t^2-1)\,t^4\,\text{d}t\\\\\quad=\dfrac{t^7}7-\dfrac{t^5}5+\lambda=\dfrac{\cos^7(x)}7-\dfrac{\cos^5(x)}5+\lambda\end{array}}
• Si {q} est impair, on peut poser {t=\sin(x)} (donc {\,\text{d}t=\cos(x)\,\text{d}x}) :
  {\begin{array}{l}\displaystyle\int\cos^5(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int(1-t^2)^2\,\text{d}t\\\\\quad=t-\dfrac{2t^3}3+\dfrac{t^5}5+\lambda\\\\\quad=\sin(x)-\dfrac{2\sin^3(x)}{3}+\dfrac{\sin^5(x)}5+\lambda\end{array}}
• Si {p} et {q} sont pairs, on linéarise :
  {\begin{array}{l}\displaystyle\int\cos^4(x)\text{d}x=\dfrac18\displaystyle\int(\cos(4x)\!+\!4\cos(2x)\!+\!3)\text{d}x\\\\\quad=\dfrac{\sin(4x)}{32}+\dfrac{\sin(2x)}4+\dfrac{3x}8+\lambda\end{array}}

Primitives de {P(x)\,\text{e}^{ax}} (et associées)