Équations différentielles d’ordre 1

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide {I} de {\mathbb{R}}.
On notera {\mathbb{K}} pour désigner indifféremment {\mathbb{R}} et {\mathbb{C}}, et on parlera de fonctions à valeurs dans {\mathbb{K}}.

Position du problème

Définition
Soit {I} un intervalle ouvert non vide.
Soit {x\mapsto a(x)} et {x\mapsto b(x)} deux fonctions continues sur {I}, à valeurs dans {\mathbb{K}}.
On dit que (E) : {y'+a(x)y=b(x)} est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
On note {(H)} l’équation différentielle : {y'+a(x)y=0}.
On dit que {(H)} est l’équation différentielle homogène associée à {(E)}.

Compléments sur la définition

Résoudre (on dit aussi « intégrer ») l’équation {(E)} (resp. l’équation {(H)}) c’est trouver toutes les fonctions dérivables {y:I\to\mathbb{K}} qui vérifient l’égalité {(E)} (resp. l’égalité {(H)}) sur {I}.

On pourra noter {\mathcal{S}_{E}} (resp. {\mathcal{S}_{H}}) l’ensemble des solutions de {(E)} (resp. de {(H)}) sur {I}.

À la fois pour {(E)} et pour {(H)}, la « solution générale » désigne une expression (en fonction d’une constante d’intégration, comme on le verra) de toutes les « solutions particulières ».

Cas particulier où {a} est une constante

Proposition (solution générale de y'+ay=0 où a est une constante)
On considère l’équation homogène {(H):\ y'+a\,y=0} où {a} est un élément de {\mathbb{K}} ({\,\mathbb{R}\;\text{ou}\;\mathbb{C}}).
La solution générale de {(H)} sur {\mathbb{R}} est donnée par {y(x)=\lambda\,\text{e}^{-ax}}, où {\lambda} est quelconque dans {\mathbb{K}}.

Remarque importante sur l’intervalle de résolution

Les résultats de cette section peuvent être étendus aux équations différentielles qui se présentent sous la forme {u(x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}, où {u,v,w} sont des fonctions numériques continues.

Mais il faut alors obligatoirement se placer sur un intervalle sur lequel la fonction {x\mapsto u(x)} ne s’annule pas (de manière à revenir, en divisant par {u(x)}, à la forme précédente, dite « normalisée »).

Par exemple, pour résoudre {x(1-x)y'(x)+v(x)y(x)=w(x)}, il faudra absolument commencer par dire qu’on se place sur l’intervalle {I=]-\infty,0\,[}, ou {I=\,]\,0,1\,[}, ou {I=\,]\,1,+\infty\,[}.

Résolution de l’équation homogène {y' +a(x)y =0}

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Page précédente : extension aux fonctions à valeurs complexes
Page suivante : équations différentielles d’ordre 2