Extension aux fonctions à valeurs complexes

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Fonctions à valeurs complexes

Définition
On note {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})} l’ensemble des fonctions définies sur une partie {\mathcal{D}} de {\mathbb{R}}, à valeurs complexes.
Une telle fonction numérique complexe {f} est définie de façon unique par la donnée de deux fonctions numériques réelles {u} et {v} de la manière suivante : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;f(t)=u(t)+i\,v(t)}

Il revient au même d’écrire : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;u(t)=\text{Re}(f(t))\;\text{et}\; v(t)=\text{Im}(f(t))}.
On dit que {u} est la partie réelle de {f}, et {v} sa partie imaginaire. On note {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.

Si on doit représenter graphiquement une telle fonction {f}, le mieux est d’imaginer un arc paramétré du plan, trajectoire du point {M(t)} d’affixe {f(t)=u(t)+i\,v(t)} quand le paramètre {t} parcourt l’intervalle {I}.

Si {f,g} sont dans {\mathcal{F}(\mathcal{D},\mathbb{C})}, et si {\alpha,\beta} sont dans {\mathbb{C}}, on peut former les fonctions suivantes :

  • La fonction {\alpha f+\beta g} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\alpha f+\beta g)(t)=\alpha\,f(t)+\beta\,g(t)}
  • La fonction {\overline{f}} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(\overline{f})(t)=\overline{f(t)}}
  • La fonction {fg} définie sur {\mathcal{D}} par : {\forall\, t\in\mathcal{D},\;(fg)(t)=f(t)g(t)}

Dérivée et intégrale des fonctions complexes

Définition (continuité d'une fonction à valeurs dans ℂ)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est continue sur {I} si et seulement si les fonctions {u} et {v} sont continues sur {I}.
Définition (dérivabilité d'une fonction à valeurs dans ℂ)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
On dit que {f} est dérivable sur {I} si et seulement si les fonctions {u} et {v} sont dérivables sur {I}.
On note alors {f'=u'+i\,v'} et on dit que {f'} est la fonction dérivée première de {f}.
Définition (intégrale sur un segment d'une fonction complexe)
Soit {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes. Soit {u=\text{Re}(f)} et {v=\text{Im}(f)}.
Pour tous {a,b} de {I}, on pose : {\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int_{a}^{b}u(x)\,\text{d}x\,+\,i\displaystyle\int_{a}^{b}v(x)\,\text{d}x}

Remarques

On retiendra de ce qui précède que, concernant les fonctions à valeurs complexes, tout revient à procéder (continuité, dérivées, intégrales) séparément sur la partie réelle et sur la partie imaginaire.

  • On dit que {f:I\to\mathbb{C}} est {n} fois dérivable si {u,v} sont {n} fois dérivables.
    On écrit alors : {f^{(n)}=u^{(n)}+i\,v^{(n)}}.
    En d’autres termes, on peut écrire {\text{Re}(f^{(n)})=(\text{Re} f)^{(n)}} et {\text{Im}(f^{(n)})=(\text{Im} f)^{(n)}}.
  • On définit de façon évidente les primitives d’une fonction {f:\mathcal{D}\to\mathbb{C}} :
    {\displaystyle\int f(x)\,\text{d}x=\displaystyle\int u(x)\,\text{d}x\,+\,i\displaystyle\int v(x)\,\text{d}x} (à une constante près {\lambda\in\mathbb{C}}).
  • De même, par définition de l’intégrale de {f}, on a les égalités :
    {\begin{array}{c}\text{Re}\Big(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\Big)=\displaystyle\int_{a}^{b}\text{Re}\bigl(f(x)\bigr)\,\text{d}x\\\\\text{Im}\Big(\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x\Big)=\displaystyle\int_{a}^{b}\text{Im}\bigl(f(x)\bigr)\,\text{d}x\end{array}}et enfin : {\overline{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,\text{d}x}=\displaystyle\int_{a}^{b}\overline{f(x)}\,\text{d}x}

Extension des résultats relatifs aux fonctions réelles

Pour voir la suite de ce contenu, vous devez : Pour poursuivre votre exploration, vous pouvez :

Page précédente : compléments sur les primitives
Page suivante : équations différentielles d’ordre 1