Équations différentielles d'ordre 2

Plan du chapitre "Calcul intégral"

Dans cette section, il sera question de fonctions à valeurs réelles ou complexes.
Ces fonctions seront définies sur un intervalle ouvert non vide ${I}$ de ${\mathbb{R}}$ .
On notera ${\mathbb{K}}$ pour désigner indifféremment ${\mathbb{R}}$ et ${\mathbb{C}}$ , et on parlera de fonctions à valeurs dans ${\mathbb{K}}$ .

Position du problème

Définition
Soit

{I}

un intervalle ouvert non vide. Soit

{a,b}

deux éléments de

{\mathbb{K}}

.
Soit

{x\mapsto f(x)}

une fonction continue sur

{I}

, à valeurs réelles ou complexes.
On considère l’équation (E) :

{y''+ay'+by=f(x)}

.
On dit que

{(E)}

est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
On note

{(H)}

l’équation différentielle :

{y''+ay'+by=0}

.
On dit que

{(H)}

est l’équation différentielle homogène associée à

{(E)}

Compléments sur la définition

Résoudre (ou « intégrer ») l’équation ${(E)}$ (resp. ${(H)}$ ) c’est trouver toutes les fonctions deux fois dérivables ${y:I\to\mathbb{K}}$ (resp. ${y:\mathbb{R}\to\mathbb{K}}$ ) qui vérifient l’égalité ${(E)}$ sur ${I}$ (resp. ${(H)}$ sur ${\mathbb{R}}$ ).

On pourra noter ${\mathcal{S}_{E}}$ (resp. ${\mathcal{S}_{H}}$ ) l’ensemble des solutions de ${(E)}$ de ${I}$ (resp. de ${(H)}$ sur ${\mathbb{R}}$ ).

À la fois pour ${(E)}$ et pour ${(H)}$ , la « solution générale » désigne une expression (en fonction de deux constantes d’intégration, comme on le verra) de toutes les « solutions particulières ».

Résolution de l’équation homogène

Proposition (équation caractéristique)
Soit

{a,b}

dans

{\mathbb{K}}

, et soit

{(H)}

l’équation différentielle :

{y''+ay'+by=0}

.
On dit que

{(C):\ r^2+ar+b=0}

est l’équation caractéristique de

{(H)}

.
L’application

{y:x\mapsto \text{e}^{r x}}

est solution de

{(H)}

sur

{\mathbb{R}}

et si seulement si

{r}

est solution de

{(C)}

Proposition (solution générale de (H) dans le cas complexe)
Soit

{a,b}

dans

{\mathbb{C}}

, et soit

{(H)}

l’équation différentielle :

{y''+ay'+by=0}

.
Soit

{\Delta=a^2-4b}

, le discriminant de l’équation caractéristique

{(C):\ r^2+ar+b=0}

Si ${\Delta\ne0}$ , l’équation ${(C)}$ possède deux solutions complexes distinctes ${r}$ et ${s}$ .
La solution générale de ${(H)}$ sur ${\mathbb{R}}$ s’écrit alors : ${y(x)=\lambda\,\text{e}^{rx}+\mu\,\text{e}^{sx}}$ , avec ${\lambda}$ et ${\mu}$ dans ${\mathbb{C}}$ .
Si ${\Delta=0}$ , l’équation ${(C)}$ possède une solution double ${r}$ dans ${\mathbb{C}}$ .
La solution générale de ${(H)}$ sur ${\mathbb{R}}$ s’écrit alors : ${y(x)=(\lambda x+\mu)\,\text{e}^{rx}}$ , avec ${\lambda}$ et ${\mu}$ dans ${\mathbb{C}}$ .

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