Limite en un point

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Propriétés vraies « au voisinage d’un point »

Dans ce chapitre, on étudie la limite d’une fonction en un point ${a}$ (éventuellement ${a=\pm\infty}$ ).

On sera aussi conduit à comparer des fonctions « au voisinage de ${a}$ ».

Par exemple pour écrire que si ${f\le g}$ alors la limite de ${f}$ en ${a}$ est inférieure ou égale à celle de ${g}$ :

il faut que ${f}$ et ${g}$ soient toutes deux définies sur un même voisinage de ${a}$ .
il suffit que l’inégalité ${f(x)\le g(x)}$ soit vraie au voisinage de ${a}$ .

L’expression « au voisinage de ${a}$ » peut s’entendre comme « suffisamment près de ${a}$ », mais cela est un peu trop familier, et ça ne traduit pas le cas où ${a}$ est égal à ${+\infty}$ ou à ${-\infty}$ .

On doit donc définir précisément ce qu’est « une propriété vraie au voisinage d’un point ${a}$ « .

Définition
Soit

{I}

un intervalle de

{\mathbb{R}}

, d’intérieur non vide.
Soit

{a}

un élément de

{I}

ou une « extrémité » de

{I}

(éventuellement

{a=\pm\infty}

).
Soit

{\mathcal{P}(x)}

une proposition, vraie ou fausse selon les valeurs d’un élément

{x}

{I}

.
On dit que

{\mathcal{P}}

est vraie au voisinage de ${a}$ si l’une des situations suivantes est réalisée :

${a}$ est réel et il existe ${\delta>0}$ tel que : ${\forall\, x\in I\,\cap\,]a-\delta,a+\delta[}$ , ${\mathcal{P}(x)}$ est vraie.
${a=+\infty}$ et il existe un réel ${A}$ tel que : ${\forall\, x\ge A,\;\mathcal{P}(x)}$ est vraie.
${a=-\infty}$ et il existe un réel ${A}$ tel que : ${\forall\, x\le A,\;\mathcal{P}(x)}$ est vraie.

Dans le premier cas, la clause « ${x\in I}$ » n’est utile que si ${a}$ est une extrémité de ${I}$ .
En effet si ${a}$ est intérieur à ${I}$ , alors pour tout ${\delta}$ assez petit, ${]a-\delta,a+\delta[}$ est inclus dans ${I}$ .

Si ${f,g}$ sont définies sur ${I}$ , on pourra par exemple écrire : si ${f(x)\le g(x)}$ au voisinage de ${a}$ , alors …

Limite d’une fonction ${f}$ en un point ${a}$ de ${\overline{\mathbb{R}}}$

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Propriétés vraies « au voisinage d’un point »

Limite d’une fonction {f} en un point {a} de {\overline{\mathbb{R}}}

Limite d’une fonction ${f}$ en un point ${a}$ de ${\overline{\mathbb{R}}}$