Cas des fonctions continues complexes

Plan du chapitre "Limites, continuité"

Soit {f} une fonction complexe {f:I\to\mathbb{C}}, définie sur l’ intervalle {I}.

On sait que {f} est caractérisée par {g:I\to\mathbb{R}} et {h:I\to\mathbb{R}} telles : {\forall\, x\in I,\;f(x)=g(x)+ih(x)}.
Ces deux fonctions réelles sont notées {g=\text{Re}(f)} et {h=\text{Im}(f)}.

Limite d’une fonction à valeurs complexes

Voici les trois définitions qu’on peut donner pour exprimer qu’une fonction à valeurs complexes possède une limite en un point {a} (avec {a} réel), ou en {\pm\infty}.

Ces définitions sont calquées sur celles qui ont été données pour des fonctions à valeurs réelles. La seule différence est que la distance {\left|{f(x)-\ell}\right|} est mesurée dans {\mathbb{C}}, avec un module et non plus une valeur absolue.

Définition (limite finie en un point a de ℝ)
Soit {I} un intervalle, et soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction à valeurs complexes.
Soit {a} un réel, élément ou extrémité de {I}. Soit {\ell} un nombre complexe.
On dit que {\ell} est limite de {f} en {a} si : {\begin{array}{l}\forall\,\varepsilon>0,\;\exists\,\delta>0,\\[9pts]\quad(x\in I\;\text{et}\;|x-a|\le\delta)\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon\end{array}}
Définition (limite finie en +∞)
Soit {f:I\to\mathbb{R}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non majoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {+\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\ge A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}
Définition (limite finie en -∞)
Soit {f:I\to\mathbb{C}} une fonction complexe, où {I} est un intervalle non minoré.
Soit {\ell} un nombre complexe. On dit que {\ell} est limite de {f} en {-\infty} si : {\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\,A\in\mathbb{R},\;(x\le A\Rightarrow|f(x)-\ell|\le\varepsilon)}

Les définitions portant sur les fonctions réelles ne sont pas toutes transposables aux fonctions complexes.
Par exemple, si {f:I\to\mathbb{C}}, cela n’a aucun sens d’écrire que {f} tend vers {+\infty} ou {-\infty}.
De même, on ne peut plus parler de limite “par valeurs supérieures” (ou inférieures).
En revanche, on peut encore parler de la limite à gauche et de la limite à droite en {a}.

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